Four variables inequality

[ins-]

Thank you very much for the beautiful solution and ideas.

I don't think it is an ugly and too tedious way to prove the first inequality. There are very beautiful and creative moments. And someone must be with long experience in inequalities to prove this in the way you mentioned.

For the second one - is there specific software for proving inequalities or you use software just for calculations? If there is no specific software I think lots of creativity is required here even more than for the first inequality which is not easy at all (at least for me).

[arqady]

ins- в сообщении #635037 писал(а):

For the second one - is there specific software for proving inequalities or you use software just for calculations?

Можно сделать следующее:
1. заменить все переменные на их кубы;
2. превратить неравенство в однородное;
3. поскольку неравенство циклическое, то можно считать, что $a=\min\{a,b,c\}$, $b=a+u$ и $c=a+v$.
Подставляем и с помощью компьютера раскрываем скобки, приводим подобные члены.
Получается многочлен от $a$, у которого все коэффициенты (многочлены от $u$ и $v$) неотрицательны.
Метод дебильный (не зря он называется Buffalo Way), но очень эфективный и если степень неравенства не очень высокая, его можно успешно применять и на олимпиаде без всякого компьютера.
Вот симпатичное неравенство от четырёх переменных на этот метод:
Докажите, что для всех действительных $a$, $b$, $c$ и $d$ верно следующее неравенство:

$$4(a^4+b^4+c^4+d^4)+3(a^2+b^2+c^2+d^2)^2\geq4(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3)$$

Можно, конечно, попытаться доказать его и по-другому.

[ins-]

It is very interesting topic. What I only wonder about buffalo method and your solution is why we substitute $a=x^3$, $b=y^3$, $c=z^3$ why exactly third degree?

[arqady]

ins- в сообщении #635302 писал(а):

why exactly third degree?

As we want to carry out homogenization.

[levietbao]

arqady в сообщении #625713 писал(а):

Попробуйте следующее неравенство.
Для положительных $a$, $b$, $c$ и $d$ таких, что $a^2+b^2+c^2+d^2=4$, докажите, что:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\geq4$$

Hello, I'm a new member.
I think we can solve this problem by Jensen's inequality


Sorry because i can write Russian. I come from Viet Nam. I'm trying to learn Russian.

[arqady]

levietbao в сообщении #752191 писал(а):

I think we can solve this problem by Jensen's inequality

For which function?