Решить в натуральных числах

[Руст]

Решить уравнение в натуральных числах:

$$4\phi(n)-n=2.$$

[vorvalm]

$\varphi (n)$ - функция Эйлера?

[ИСН]

Там эти цепочки из чисел Ферма. Осталось понять, почему.

-- Ср, 2012-10-24, 14:05 --

Ну, поехали. Нечётные числа отпадают сразу: у них левая часть тупо нечётна. Делящиеся на 4 отпадают по аналогичной причине (у них она делится на 4). Значит, n=2m, где m нечётно, и $2\varphi(m)-m=1$.

-- Ср, 2012-10-24, 14:08 --

ИСН в сообщении #635151 писал(а):

где m нечётно

и squarefree, кстати

[vorvalm]

Тогда $n_1=6,\;n_2=30.$

[Sonic86]

Я просто ссылку на аналогичную задачу оставлю для связки.

-- Ср окт 24, 2012 15:12:50 --

ИСН в сообщении #635151 писал(а):

$2\varphi(m)-m=1$.

ИСН в сообщении #635151 писал(а):

и squarefree, кстати

Дальше так: пусть $m$ - нечетное, свободное от квадратов и $2\varphi(m)=m+1$. Рассмотрим $mp, p\nmid m, p\neq 2$:
$2\varphi(mp)-mp=1$
$(m+1)(p-1)-mp=1$
$p=m+2$.
Т.обр, если $m$ решение и $p=m+2$ - простое, то $mp$ - решение.
Если $m$ - простое, то $m=3$.
Отсюда числа Ферма.
Остается проверить, что других решений нет. Щас проверю...
А обратно можно взять решение $mp$ и перейти к решению $m$.
Хотя нет. Еще может быть так: $m$ - решение, а все $\frac{m}{p}$ - не решения. Тогда как?

Прикольно, однако. Поинтереснее, чем у меня была...

[Sonic86]

Sonic86 в сообщении #635252 писал(а):

Еще может быть так: $m$ - решение, а все $\frac{m}{p}$ - не решения. Тогда как?

Ну все, облом: $m=3\cdot 5\cdot 17\cdot 353\cdot 929$ - это решение.
Как доказать конечность числа решений, хотя бы?

[Руст]

Sonic86 в сообщении #635286 писал(а):

Как доказать конечность числа решений, хотя бы?

Это вряд ли. Я знал решения $n=2F_k-4,k=,1,2,3,4,5$. Некоторые вероятностьные соображения говорили в пользу того, что скорее всего бесконечно много решений. Точного доказательства у меня нет.