Степень поля разложения многочлена

[FedorM]

Помогите, пожалуйста, решить задачу:
Доказать, что степень поля разложения многочлена
степени n делит n!

Из доказательства существования такого поля следует, что
эта степень =<n!, но как доказать, что именно делит?

[VAL]

FedorM в сообщении #634669 писал(а):

Помогите, пожалуйста, решить задачу:
Доказать, что степень поля разложения многочлена
степени n делит n!

Из доказательства существования такого поля следует

Еще как следует!
А именно из теоремы о строении простого алгебраического расширения поля и теоремы о башне.

А почему Вы пишете не в разделе "Помогите решить/разобраться"?
Вопрос именно для него.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[FedorM]

Не понятно.
Как мы строим поле разложения?
Сразу считаем, что многочлен неприводимый, степени > 1.
Существует поле, в котором данный многочлен имеет корень.
Степень этого расширения очевидно не больше степени многочлена.
Отделяем линейные множители и так далее.
По теореме о башне полей можно заключить, что степень этого поле
разложения не больше, чем n!, но почему она его именно делит не ясно.

[VAL]

FedorM в сообщении #634904 писал(а):

Не понятно.
Как мы строим поле разложения?

И как же?

Цитата:

Сразу считаем, что многочлен неприводимый, степени > 1.

Допустим.

Цитата:

Существует поле, в котором данный многочлен имеет корень.

Верно.

Цитата:

Степень этого расширения очевидно не больше степени многочлена.

А мне очевидно, что она равна степени исходного неприводимого многочлена.

Цитата:

Отделяем линейные множители и так далее.
По теореме о башне полей можно заключить, что степень этого поле
разложения не больше, чем n!, но почему она его именно делит не ясно.

А с учетом того, что я уточнил?

[FedorM]

Блин, точно. Спасибо, я идиот.