Некоторые показательные уравнения

[Keter]

1. $2^x=3-x$ - тут $2^x$ - возрастающая, $3-x$ - убывающая, значит решение $x=1$ единственное.

2. $3^x+4^x=5^x$ - ясно, что $x=2$, но как сказать, что других решений нет. Можно ли просто разделить на $5^x$? $\bigg( \dfrac{3}{4} \bigg)^x+ \bigg( \dfrac{4}{5} \bigg)^x=1$, то есть слева функция убывающая (сумма убывающих), а справа посто прямая, параллельная оси абсцисс, значит решение единственное.

3. $(2-\sqrt3)^x+(2+\sqrt3)^x=4^x$ - вижу, можно на сопряженное помножить, а дальше что?

4. $3^{x-1}+5^{x-1}=34$ - слева возрастающая функция, так? Тогда решение $x=3$ единственное.

5. $4^{x-2}+6^{x-3}=100$ - тут тоже можно говорить о единственном решения, так как слева возрастающая?

6. $(4-\sqrt7)^x+(3+\sqrt7)^x=7^x$ - никакой рациональной идеи.

7. $4^{\tg x}+4^{\ctg x}=8$ - Можно по Коши попробовать: $4^{\tg x}+4^{\ctg x} \ge 2 \sqrt{4^{\tg x+\ctg x}}$. Ну дальше ясно. Есть ли способ без использования неравенств?

[nnosipov]

Keter в сообщении #634573 писал(а):

6. $(4-\sqrt7)^x+(3+\sqrt7)^x=7^x$ - никакой рациональной идеи.

А если поделить на правую часть?

[ИСН]

Keter в сообщении #634573 писал(а):

3. $(2-\sqrt3)^x+(2+\sqrt3)^x=4^x$

А если поделить на правую часть?

[Keter]

nnosipov, ИСН, ну да, тогда слева убывающая функция.