Решить предел используя определения производной

[NeBotan]

Добрый день. Подскажите пожалуйста идею, с чего подступиться к следующему примеру?

Требуется найти предел, используя определение производной, действия с ней и табличные производные.
$ \lim_{x \to 2} \frac{f(x)x^4-2^4f(2)}{x-2}$

если $f(2^4)=-1$, $f'(2^4)=\frac{1}{8\ln2}$.

Мое решение. Первое, что пришло в голову, воспользоваться правилом Лопиталя. Получил следующее:

$ \lim_{x \to 2} \frac{f(x)x^4-2^4f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} f'(x)x^4+4x^3f(x)$. Вроде и производная получилась, но как перейти к тому, чтобы функция и производная зависели от $x^4$, что-то недогоняю.

Дайте толчок мысли...

[ewert]

NeBotan в сообщении #634600 писал(а):

как перейти к тому, чтобы функция и производная зависели от $x^4$, что-то недогоняю.

И не догоните -- это невозможно. Ошибка в условии.

[NeBotan]

А где именно ошибка? функция должна изначально от $x^4$ зависеть что ли?

[Someone]

Просто "функция" здесь не $f(x)$, а $g(x)=x^4f(x)$.

NeBotan в сообщении #634600 писал(а):

если $f(2^4)=-1$, $f'(2^4)=\frac{1}{8\ln2}$.

А производная постоянной чему равна?
Кстати, сформулируйте-ка нам здесь определение производной. Всё равно оно для решения нужно.

[NeBotan]

$f'(x)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x-x_0)-f(x_0)}{x-x_0}$

я так понимаю, формула под пределом в условии задачи есть производная $(f(x) x^4)'$, которую можно разложить по формуле производная произведения двух простых функций, и тогда если бы в условии были даны значения $f(2)$ и $f'(2)$, то пример решился бы без проблем. ewert об этом кажется написал.

[ewert]

NeBotan, Вы всё правильно делали. Просто нет никакой возможности найти значения абстрактных функций в точке $2$, если они заданы в совсем другой точке $2^4$. Четвёрка в это условие явно по рассеянности влезла.

[Cash]

Только вот это

Цитата:

$f'(x)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x-x_0)-f(x_0)}{x-x_0}$

неверно. Описка, надо полагать...