Интерпретации кольца, группы, поля

[Профессор Снэйп]

С кольцом всё просто. На часовой циферблат можно взглянуть как на $\mathbb{Z}_{12}$. Он круглый

[VIP]

В современной терминологии очень много непоследовательного.
Например, между идеалом и нормальным делителем много общего, то есть почти всё - один неподвижное замкнутое подмножество, другой коммутирующие ЗПМ, но называются они по разному причем непредсказуемо. Еслиб еще остался вместо идеал термин идеальный делитель, то хоть понятно было бы общность. Но нет - термины прижились и реально набор звуков их названий не помогает в их запоминании.

[Профессор Снэйп]

VIP в сообщении #634072 писал(а):

термины прижились и реально набор звуков их названий не помогает в их запоминании.

Ага. Каждый год приходится объяснять студентам, что антисимметричность не есть отрицание симметричности

[Aritaborian]

Sonic86 в сообщении #633959 писал(а):

Все определения у них построены довольно единообразно.

Можно примеры? Мне казалось, что в плане терминологии бурбакисты ничего особо нового не привнесли.

[Aritaborian]

Профессор Снэйп в сообщении #633970 писал(а):

С кольцом всё просто.

Подумалось вдруг, что термин «ожерелье» (соотв., англ. necklace) подошёл бы ещё лучше.

[arseniiv]

Ожерелье — это комбинаторная конфигурация.

[Aritaborian]

arseniiv, ох, точно, есть такое ;-) Тогда б вышло перекрытие значений терминов. А жаль ;-)

[arseniiv]

Aritaborian в сообщении #634250 писал(а):

Тогда б вышло перекрытие значений терминов.

Термины-омонимы — сплошь и рядом!

[Aritaborian]

arseniiv в сообщении #634402 писал(а):

Термины-омонимы — сплошь и рядом!

Приведите примеры, а то я что-то торможу ;-)

[arseniiv]

К ночи тоже не могу вспомнить. Между разными науками их кучи — но такие, конечно, не в счёт…

[Sonic86]

Aritaborian в сообщении #634410 писал(а):

Приведите примеры, а то я что-то торможу

Модуль

[Day]

theambient в сообщении #633666 писал(а):

Руст в сообщении #633658 писал(а):

Идеалы пошли от Куммера, как "идеальные" делители, которых может и не быть в кольце, тем не менее восстанавливают однозначное разложение на множители.

значит я неправильно себе объяснил, но такая вольная интерпритация для меня крайне наглядна: идеал притягивает к себе все до чего только может дотянуться, эдакая "ненасытная утроба": $\forall a \in K, b \in I \, \, ab \in I$

Идеал - это просто НОЛЬ. Это то подмножество кольца, которое при факторизации готово выступить нулем. Ну кому-то (Куммеру, возможно) этот ноль показался идеалом. Может быть он замучился с подкольцами... Тогда почему в ТГ аналогичная штука называется нормальной подгруппой
Тема, конечно, любопытная. Ретроспективный психоанализ.

[Руст]

Day в сообщении #634541 писал(а):

Идеал - это просто НОЛЬ. Это то подмножество кольца, которое при факторизации готово выступить нулем. Ну кому-то (Куммеру, возможно) этот ноль показался идеалом. Может быть он замучился с подкольцами... Тогда почему в ТГ аналогичная штука называется нормальной подгруппой
Тема, конечно, любопытная. Ретроспективный психоанализ.

Ноль, ассоцируется с аддитивной единицей. Тогда любая подгруппа абелевой группы по вашему идеал. Куммер использовал в первую очередь свойства делимости, соответственно логичнее не НОЛЬ, а ЕДИНИЦА. В теории категории (не обязательно в аддитивной категории) вообще говоря сложения морфизмов нет, а ассоциативное умножение есть. Тут так же вводят идеалы по принципу делимости морфизмов.

[theambient]

Day в сообщении #634541 писал(а):

Идеал - это просто НОЛЬ.

В самом деле, это недофакторизованный ноль, который по сути является той же самой "утробой". Еще один булыжничек улегся на мостовую Знания. Спасибо!

Руст в сообщении #634589 писал(а):

Ноль, ассоцируется с аддитивной единицей.

Весьма сумбурно: может быть ноль ассоциируется с аддитивным нейтральным элементом?

Руст, а по поводу остального - единица ничего не поглощает относительно умножения. для нуля выполнено $a\cdot 0 = 0 \cdot a = 0$

[Руст]

theambient в сообщении #634642 писал(а):

Руст, а по поводу остального - единица ничего не поглощает относительно умножения. для нуля выполнено $a\cdot 0 = 0 \cdot a = 0$

Нет, в мдеале главное умножение, аддитивность следствие дистрибутивности умножения относительно сложения. Почитайте теорию дивизоров.
Опрелелим окрестность элемента как множество $x(1+I)$. Эта окрестность открытая, если с каждым $a,b$ в $I$ принадлежит так же $a+b+ab=(1+a)(1+b)-1$. Сложение появилось только вследствии дистрибутивности. Если определить окрестность как $x+I$, то они не будут открытыми, если $I$ не содержит обратные элементы по сложению, например во множестве натуральных чисел. Факторизация связывает близкие элементы воедино. В вашем случае в натуральных числах не получится связывать воедино. Взяв в качестве I все натуральные делящиеся на m, после связывания во едино получим кольцо (точнее полугруппу по умножению) вычетов по модулю m. Правда для этого приходится присоединять к гашему множеству все положительные рациональные числа. В любом случае, Куммер ввел их для расширения понятия делимости, а не разности.