1) Для каких n,

делится на 14.
Можно здесь как-то применить малую теорему Ферма? Также думаю, можно воспользоваться тем, что 14=7 * 2.
Да, можно так. Продолжайте рассуждения.
Умножение в ТеХе пишется \cdot:

2)
![$\mathbb Z_{n}[math]$ $\mathbb Z_{n}[math]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/9/af98dbc6afd6355164da44c58a7ebc7582.png)
$ - множество остатков от деления на n. При каких n это множество будет группой а) по сложению б) по умножению.
Ваши мысли?
3) Сколько элементов в группе

. Будет ли она циклической?
![$\mathbb Z^*_{n}[math]$ $\mathbb Z^*_{n}[math]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/f/ccfbfaa1ef1897fadcb8b33eec60eba982.png)

\mathbb Z_{n}

\{0}.
Последнее соотношение неверно, поскольку в

есть еще и необратимые ненулевые элементы.
4) Сколько корней имеет многочлен

в

$
Не понимаю, что нужно сделать в этом задании. Модульная арифметика?
Ну понятно что модулярная

Вы же умеете решать квадратные уравнения не только в

, а в любом кольце. Попробуйте как обычно, для начала, например.
-- Пн окт 22, 2012 13:15:58 --5) Рассмотрим группу (

\{0},*). Перечислить все ее конечные подгруппы и доказать, что других не существует.
Ваши мысли? Каковы порядки элементов конечной группы?
6) Рассмотрим группу (

,+). Перечислить все ее конечные подгруппы и доказать, что других не существует.
Аналогично.
7) Построить таблицу умножения не циклической группы из 8 элементов. Бужет ли она коммутативной?
Вот, например, так:
Всяко не группа. Какой обратный элемент у

?