Руст, а по поводу остального - единица ничего не поглощает относительно умножения. для нуля выполнено

Нет, в мдеале главное умножение, аддитивность следствие дистрибутивности умножения относительно сложения. Почитайте теорию дивизоров.
Опрелелим окрестность элемента как множество

. Эта окрестность открытая, если с каждым

в

принадлежит так же

. Сложение появилось только вследствии дистрибутивности. Если определить окрестность как

, то они не будут открытыми, если

не содержит обратные элементы по сложению, например во множестве натуральных чисел. Факторизация связывает близкие элементы воедино. В вашем случае в натуральных числах не получится связывать воедино. Взяв в качестве I все натуральные делящиеся на m, после связывания во едино получим кольцо (точнее полугруппу по умножению) вычетов по модулю m. Правда для этого приходится присоединять к гашему множеству все положительные рациональные числа. В любом случае, Куммер ввел их для расширения понятия делимости, а не разности.