Моделирование интерференции волн

[cristaloleg]

Привет. Собственно такой вопрос: как моделировать интерференцию волн(света) и отражение волн от поверхностей?. Да есть формула для источников света. Но как сделать чтобы происходило отражение от поверхностей? В какую сторону читать, смотреть? Планируется сделать это на C++ и SDL/SFML/OpenGL DirectX тоже подойдет. Буду рад любым советам, подсказкам. Спасибо.

[Pavia]

Меня тоже это интересует. Хотелось бы что-то из современного.

К примеру есть вот такая вот симуляция, но она мне не очень нравится.
http://www.falstad.com/ripple/

Гудмен_Дж.-Введение_в_Фурье-оптику-Мир(1970).djvu

Цитата:

если каждую точку волнового фронта светового возму-
щения рассматривать как новый источник «вторичного»
сферического возмущения, то в любой последующий
момент времени волновой, фронт можно найти путем
построения огибающей вторичных слабых волн,

(Оффтоп)

Цитата:

Первый шаг в развитии теории, которая позволяла
объяснить такие эффекты, был сделан в 1678 г. осново-
положником волновой теории света Христианом Гюй-
генсом. Гюйгенс выдвинул интуитивное утверждение,
которое можно сформулировать следующим образом:
если каждую точку волнового фронта светового возму-
щения рассматривать как новый источник «вторичного»
сферического возмущения, то в любой последующий
момент времени волновой, фронт можно найти путем
построения огибающей вторичных слабых волн, как
показано на фиг. 7. Интуитивные идеи Гюйгенса были
существенно преобразованы в 1818 г. в знаменитом
мемуаре Огюстена Жана Френеля, который дополнил
гюйгенсово построение огибающей принципом интерфе-
ренции Юнга. Сделав некоторые довольно произволь-
ные допущения относительно эффективных амплитуд
и фаз вторичных источников Гюйгенса и предположив,
что вторичные волны интерферируют друг с другом,
Френель смог с большой точностью рассчитать распре-
деление света в дифракционных картинах.
Идеи Гюйгенса и Френеля в 1882 г. были по-
ставлены на более прочную математическую основу Гу-
ставом Кирхгофом, которому удалось показать, что
особенности амплитуд и фаз, приписываемые Френелем
вторичным источникам, логически следуют из волновой
природы света. Кирхгоф основывал свои математические
построения на двух предположениях относительно гра-
ничных значений светового возмущения, падающего на
поверхность препятствия, расположенного на пути све-
та. Позднее Пуанкаре (в 1892 г.) и Зоммерфельд
(в 1894 г.) доказали, что эти предположения несовме-
стимы друг с другом4).
В свете этих критических замечаний предложенную
Кирхгофом формулировку так называемого принципа
Гюйгенса — Френеля следует рассматривать как первое
приближение, хотя в большинстве случаев она дает по-
разительное согласие с экспериментальными данными.
Котлер [2] пытался разрешить противоречия путем све-
дения задачи Кирхгофа о граничных значениях к задаче
с разрывными решениями. Теория Кирхгофа была ви-
доизменена также Зоммерфельдом, который исключил
одно из вышеупомянутых граничных условий путем ис-
пользования теории функций Грина. Эта так называе-
мая теория дифракции Релея — Зоммерфельда будет
изложена в § 4.

По тексту видно что автор сам плавает в определениях. Первоисточники я смотрел там ещё хуже. Но так всегда бывает с первоисточниками. Поэтому что-то из современного надо.

Ещё хочу упомянуть, что есть закон описывающий
"Влияние магнитной проницаемости на отражение и преломление"

[cristaloleg]

Pavia большое спасибо. демка довольно наглядная(я находил намнооого хуже). Но декомпилить её и пытаться понять её код не клево. думалю найти теорию и по ней самому построить. но все равно спасибо за линк и книгу.

[Munin]

Всё это "плавание" - это ошибочное впечатление, из-за того, что приходится формулировать суть словами. Формулами всё это просто и однозначно: волновое уравнение, для любой векторной величины, на поверхности - граничные условия.

Книга 1970 года не менее современная, чем 2004.

[Pavia]

cristaloleg

Цитата:

Но декомпилить её

Исходники открыты они там же лежат.
Вот если не заметили.
http://www.falstad.com/ripple/Ripple.java

[cristaloleg]

Pavia когда писал сообщение исходники не нашел. через пару минут нашел. но все равно спасибо. Но все равно вывести/или закодить формулы самому было бы лучше чем возиться с чужим кодом. думаю выпонимаете о чем я.

[Pavia]

Munin
Меня учили так. Если человек может точно сформулировать ответ - значит он разбирается. А если нет, то значит он не разбирается.

У меня другая проблема. Чисто прикладная. Как составить формулу? Откуда брать граничные условия?
Меня интересу расчёт поведение света при размере сетки порядка 100мкм-100нм. Состав веществ известен. Но как его связать с воздействием на свет?

-- Вс окт 21, 2012 21:23:50 --

cristaloleg
Для вас хватит то-го что Munin посоветовал. Берёте дифференциальное уравнение волны(вывод можно найти в книгах) 2-х мерное(2-координаты и время) или 3-х мерное . Накладываете условия.
Далее решаете дифференциальное уравнение. Алгоритм решения описан.

[cristaloleg]

Pavia буду рад если вы объясните более подробнее.

[Munin]

Pavia в сообщении #633759 писал(а):

Меня учили так. Если человек может точно сформулировать ответ - значит он разбирается. А если нет, то значит он не разбирается.

И чо, это вы про Гудмена?

Pavia в сообщении #633759 писал(а):

У меня другая проблема. Чисто прикладная. Как составить формулу? Откуда брать граничные условия?

Из уравнений Максвелла. Вывод волнового уравнения практически в любом учебнике по оптике. Например, берём первый попавшийся под руку: Ахманова-Никитина, 2-е изд. 2004. Волновое уравнение на с. 16, граничные условия на с. 513.

Pavia в сообщении #633759 писал(а):

Состав веществ известен. Но как его связать с воздействием на свет?

Практически - через эмпирические коэффициенты, скорее всего. Вещества на световых частотах имеют сложные дисперсионные свойства, а если эти вещества ещё образуют структуры наноразмеров, то и эти свойства могут быть существенно искажены. Шарик из, не знаю, стекла, размером 1 нм, не может рассчитываться аналогично шарику из стекла размером 1 мм, только меньше. Свойства самого стекла меняются.

[Alex_Ra]

Pavia - сочувствую. Посмотрите - Петров Ю. И. Физика малых частиц. М., 1982. 359 с.или
Петров Ю.И. Кластеры и малые частицы
В этой тематике не столько сложно считать , сколько найти правильные данные по веществу, которое Вы рассчитываете. С уважением.

[Munin]

Alex_Ra
Разве литература 1982 года не устарела по этому вопросу? Интересно...

[Pavia]

cristaloleg в сообщении #633827 писал(а):

Pavia буду рад если вы объясните более подробнее.

Есть уравнение волны
$\Delta E=\frac{1}{c^2}\frac{d^2 E}{d t^2}$
где $\Delta$ - оператор Лапласа
$\Delta E=\frac{d^2 E}{dx^2}+\frac{d^2 E}{dx2^2}+\frac{d^2 E}{dx3^2}$
Тут $E$ это функция зависящая от координат и времени
$E=E(t,x1,x2,x3)$
$c$ - скорость света.

Решение волнового уравнения есть функция $E$ электрической напряженности.
Симуляция как-раз и будет показ функции $E(t,...)$


Решать мы можем любым методом решения дифференциальных уравнений. Я люблю численные методы.
Если у на будет итерационное решение $E(t,..)=f(E(t-1,...))$ , то тогда мы сможем выполнять симуляцию пошагово совмещая с решением.
Вот первое что попалось в интернете по поводу решения дифференциальных уравнений.
http://solidbase.karelia.ru/edu/meth_calc/files/13.shtm

По поводу дополнительных условий. Требуемых для решения.
$E(0,...)=0$ - предположим что вначале у нас нет никаких электрических колебаний и напряженностей.

Источник описывается как $E(t,x0,x1,x2)=A*Sin(w*t)$ - считается что он имеет периодические колебания.
Тут $x0,x1,x2$ координаты источника.
Что касается экрана на котором происходит дифракция. То у него напряженность в точках равна $E(t,...)=0$ и производная
$\frac{d}{dt}E(t,...)=0$
Это следует из того что экран не пропускает электромагнитные волны.

Далее не успел ещё со всем разобраться. Как применить 2 последних условия?
По идеи экран должен сам выступать в виде источника. И далее используя принцип супер позиции мы должны получить результат. Вот как это применить при решение?

[Munin]

Pavia
Пожалуйста, не вводите в заблуждение! Пусть вы не умеете писать значков частной производной $\partial,$ но это не повод писать формулы с прямыми $d$ - это будут совсем другие формулы!

Волновое уравнение (а не "уравнение волны")

$$\Delta\mathbf{E}=\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2},$$

где оператор Лапласа (лапласиан)

$$\Delta\mathbf{E}\equiv\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial z^2}\quad[=\operatorname{grad}\operatorname{div}\mathbf{E}-\operatorname{rot}\operatorname{rot}\mathbf{E}].$$

Также может быть записано через оператор Д'Аламбера (даламбертиан)

$$\square\mathbf{E}=0,\qquad(\pm)\square\mathbf{E}\equiv\Delta\mathbf{E}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial z^2}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2},$$

для которого встречаются разные соглашения о знаках; также иногда используется обозначение не $\square,$ а $\square^2$ (если честно, нигде, кроме как у Фейнмана, не видел, а Фейнман любил оригинальные обозначения).

Решать, разумеется, можно не любым методом, а только методами решения дифференциальных уравнений в частных производных. Методы решения ДУЧП обычно описаны в книгах под названием "Уравнения математической физики", хотя есть и чисто математические книги по ДУЧП. Разумеется, численные методы тоже доступны.

Источник задать как точечный нельзя: потому что амплитуда колебаний будет спадать по мере удаления от источника, как $1/R,$ и на самом источнике должна будет обратиться в бесконечность, что неприемлемо для численных методов. Можно задать некоторую малую поверхность вокруг источника, и поле на ней, или границу области решения, и на ней поле падающей волны (что сопряжено с отдельными трудностями условий неотражения, не буду в них углубляться).

На экране задаётся условие $\mathbf{E}_{\parallel}=0$ (перпендикулярная компонента $\mathbf{E}$ может быть не равна нулю!), и на производную $\partial\mathbf{E}/\partial t,$ насколько я помню, не накладывается никаких условий.

Тема большая, и не думайте, что разобраться в ней с нуля сможете быстро. Обычно это 1-2-семестровый курс, больше 2-семестровый. А если копать глубоко, то там найдётся материала и на 2-3 года, да и вообще можно всю жизнь этим прозаниматься.

[Pavia]

Хорошо про $\partial,$ возьму на заметку перечитаю и исправлюсь.

Цитата:

дать по мере удаления от источника, как $1/R,$

Как квадрат должно быть. $E=F/q$, где $F$ из-закона Куллона.

Цитата:

Источник задать как точечный нельзя:

Да всё верно. Я просто выше когда писал про точку, имел в виду координаты узла сетки разбиения. Конечно она имеет размеры равный шагу сетки.

Цитата:

На экране задаётся условие...

Я свои из книге Ахманова-Никитина взял и там производная тоже нулю приравнивалась. Оно просто следует из $E(t,..)=0$

Цитата:

(перпендикулярная компонента $\mathbf{E}$ может быть не равна нулю!)

Если мы рассматриваем неполяризованный света, и экран - это поляризатор, то да надо разделять параллельную и перпендикулярную составляющую. Но сейчас нам этого не надо косаться.
Сейчас лучше найт, построить простое описание. А после уже его будем усложнять.
Название и харакетр волны я описал формально, и не дал словестных пояснений потому, что ещё не смотрел, как по научному такой тип волн называется. Описание у меня немного расплывчитае вышло, так как это первая прикидка. Походу дела появлятся дополнительные пояснения условия.

Цитата:

Обычно это 1-2-семестровый курс,

Уневе я уже закончил. На самом деле у меня уже большой багаж знаний, поэтому мое время вхождения гораздо меньше.

[Munin]

Pavia в сообщении #634703 писал(а):

Как квадрат должно быть. $E=F/q$, где $F$ из-закона Куллона.

Грубейшая ошибка (и даже не в написании фамилии Ш. Кулона, C. Coulomb). У всякой системы зарядов и токов образуемые этой системой поля делятся на два вида: "привязанные" к этой системе, и распространяющиеся волнами вдаль, то есть "оторванные" и больше не "привязанные". Нераспространяющиеся поля имеют зависимости $1/R^2,$ $1/R^3$ и так далее, а вот распространяющиеся имеют зависимость $1/R$ - это можно понять, если вспомнить, что энергия волн убывает с расстоянием как $1/R^2,$ обратно пропорционально площади сферы, на которую расходится излучение, а энергия квадратична по величине поля. Нераспространяющиеся поля энергией обладают, но из системы её не уносят. Из-за этого, пространство вокруг системы делится на ближнюю зону, и дальнюю (или волновую) зону, иногда выделяя промежуточную, смотря по тому, преобладают ли слагаемые с зависимостью $1/R^{2,3\ldots}$ или с $1/R.$ В расчётах радиоволн и оптики эффектами ближней зоны обычно пренебрегают, источники считают точечными. Отдельная петрушка в случае волноводов, но это к слову.

Pavia в сообщении #634703 писал(а):

Если мы рассматриваем неполяризованный света, и экран - это поляризатор, то да надо разделять параллельную и перпендикулярную составляющую.

Нет, речь не о параллельной и перпендикулярной поляризации. Речь о компонентах вектора электрического поля, перпендикулярных или параллельных поверхности отражения. При этом рассматривается суммарный вектор поля, а не отдельно для падающей или отражённой волны.

Возьмите Тамма "Основы теории электричества", там в § 91 перечислены все граничные условия на поверхностях раздела сред. Для проводника берите случай $\lambda\to\infty$ (бесконечной проводимости, она так обозначена в том параграфе), тогда $\mathbf{E}$ в проводнике у вас зануляется, а на $\mathbf{H}$ условий не возникает. Впрочем, если условия задачи не подразумевают статических магнитных полей, то в проводнике $\mathbf{H}$ будет тоже занулено, поскольку в волне они друг другу пропорциональны. Более подробно для конечной проводимости прохождение волн в проводник рассмотрено в § 102 Тамма. Всё это базовый background, по сути, перед чтением Ахманова-Никитина, там уже чисто на оптических аспектах сосредотачиваются.

Pavia в сообщении #634703 писал(а):

Уневе я уже закончил. На самом деле у меня уже большой багаж знаний, поэтому мое время вхождения гораздо меньше.

Если вы говорите то, что вы говорите, то вы ничего по этой теме в "уневе" не освоили (не знаю, может, вы журфак оканчивали), и ваш багаж вам не поможет: потребуются те же самые 1-2 семестра.