Цитата:
Пардон, действительно тривиально.

действительно гомеоморфно

как пространство (но не как группа!). Есть еще один исключительный случай,

, в котором оно тривиально. Существование таких исключительных гомеоморфизмов (как часто случается в математике) связано с исключительными алгебрами кватернионов и октонионов соответственно. Для доказательства того, что в остальных размерностях такого не происходит, нужно, думаю, посчитать когомологии

, см. любую книжку по алгебраической топологии.
Расслоение

-- главное

-расслоение, с которым ассоциировано касательное расслоение к

, таким образом, оно тривиально т. и т.т. когда касательное расслоение тривиально, т.е. соответствующая сфера параллелизуема. Очевидно, четномерные сферы непараллелизуемы из-за ненулевой Эйлеровой характеристики. Параллелизуемость

равносильна существованию в

элемента с нечетным инвариантом Хопфа. Существует теорема, что если

, то в

отсутствуют элементы с нечетным инвариантом Хопфа. Доказательство этого факта неэлементарно (либо с помощью операций Стинрода либо с помощью

-теории) -- см. например Фоменко-Фукс, Каруби, Хэтчер (учебник по

-теории), Мошер-Тангора,...