Шарик-2.

[dovlato]

Свёрнутая в круг узкая полая трубка с водой, находящаяся в вертикальной плоскости,
вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через неподвижный центр.
Начальная угловая скорость вращения $\omega>\omega_0=\sqrt{g/R}$.
В нижней точке трубки находится маленький воздушный шарик, объём которого в $n$ раз меньше объёма воды.
Скорость вращения медленно спадает. Описать процесс, считая трение воды о стенки малым.

[anik]

dovlato в сообщении #629604 писал(а):

В нижней точке трубки находится маленький воздушный шарик, объём которого в $n$ раз меньше объёма воды.

А с чего, собственно, воздух находится в нижней части трубки, как он туда попал и кто его там удерживает?

[dovlato]

Как попал - этих подробностей История не сохранила..попал вот. А оставаться он там может в том случае, если вращение вокруг вертикальной оси происходит с достаточно большой угловой скоростью; тогда центробежные силы создают в воде давления, которые не позволяют шарику вырваться из своей нижней точки.

[anik]

dovlato в сообщении #633105 писал(а):

А оставаться он там может в том случае, если вращение вокруг вертикальной оси происходит с достаточно большой угловой скоростью; тогда центробежные силы создают в воде давления, которые не позволяют шарику вырваться из своей нижней точки.

Вот этот процесс, который Вы тут описали, возможен в том случае, если сверху трубки тоже имеется воздушный промежуток. Но водяное кольцо разорвано воздушным промежутком только снизу, я так понимаю?
Причём здесь медленное уменьшение угловой скорости вращения? Шарик не будет оставаться в нижней точке, даже если кольцо будет вращаться с указанной скоростью равномерно. Равновесие шарика внизу - неустойчивое.

[dovlato]

Потенциал всех действующих - гравитационных и центробежных - сил в трубке равен ($\alpha$- отклонение от нижней точки)

$$\varphi(\alpha)=Rg(1-\cos\alpha)-0.5(R\omega)^2\sin^2\alpha$$

Пусть $m$ - масса воды в объёме, равном объёму пузырька.
Тогда изменение потенциальной энергии системы при отклонении пузырька на угол $\alpha$ равно

$$U(\alpha)=mR[0.5R\omega^2\sin^2\alpha-g(1-\cos\alpha)];$$

$$U(\alpha)=mgR\sin^2\frac{\alpha}{2}[\left(\frac{\omega}{\omega_0}\cos\frac{\alpha}{2}\right)^2-1]$$

$$\omega_0^2=g/R$$

При $\omega/\omega_0 >1$ локальный минимум потенц. энергии будет при $\alpha=0$. Следовательно, это положение устойчиво.

[anik]

Водяное кольцо без пузырька представляет собой однородный тор у которого моменты инерции относительно любой оси в плоскости тора одинаковы. Такой тор может вращаться вокруг любой оси.
Наличие пузырька равносильно кольцу с прорезью. Такое кольцо статически не сбалансировано, его ц.м. смещён относительно геометричеcкого центра тора. Если такой тор не вращать вокруг вертикальной оси, то он повернётся прорезью вверх так, что его центр масс окажется внизу по вертикали, и будет колебаться относительно положения равновесия.
А если такой тор вращать вокруг вертикальной оси, то центр масс начнет отклоняться от вертикали, а прорезь (воздушный пузырёк) будет диаметрально противоположна положению ц.м. Чем быстрее вращение вокруг вертикальной оси, тем ближе радиус-вектор, проведённый от центра колеса к центру масс, к горизонтальному положению.
Если вращение вокруг вертикальной оси происходит от нижнего начального положения прорези (пузырька), то пузырёк проскочит горизонтальное положение (и равновесное положение тоже проскочит) и будет колебаться вокруг своего равновесного положения с частотой, зависящей от скорости углового вращения вокруг вертикальной оси.
Таково, на мой взгляд, качественное описание поведения системы.
Нижнее положение пузырька при таких условиях устойчивым никогда не будет.

[android2012]

dovlato в сообщении #629604 писал(а):

Свёрнутая в круг узкая полая трубка с водой, находящаяся в вертикальной плоскости,
вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через неподвижный центр.
Начальная угловая скорость вращения $\omega>\omega_0=\sqrt{g/R}$.
В нижней точке трубки находится маленький воздушный шарик, объём которого в $n$ раз меньше объёма воды.
Скорость вращения медленно спадает. Описать процесс, считая трение воды о стенки малым.

Извините, а кто крутит?

[anik]

anik в сообщении #633203 писал(а):

Нижнее положение пузырька при таких условиях устойчивым никогда не будет.

Наверное, здесь я тоже неправ. Ось инерции, проходящая через центр колеса и центр пузырька (прорези) будет являться главной центральной осью минимум, а вращение вокруг оси минимум может быть устойчивым. Вращается ведь перевёрнутый волчок так, что его ц.м. оказывается вверху.
Да... Видать мне на пенсию пора.

[dovlato]

android2012:Если позволите- крутить буду я. Но могу предоставить это любому желающему)).
anik: я сам уже думал об этом же. Думаю, дело в том, что редукция кольца до одной лишь точки в центре масс допустима только в однородных силовых полях. А в данном случае ведь оно неоднородно из-за вращения.
В принципе, можно пойти напролом: записать выражение для кинетической и потенциальной энергии - и уравнения Лагранжа, вперёд и с песней..
Но ведь я же тоже уже далеко не первой молодости))).

[Батороев]

dovlato в сообщении #633105 писал(а):

Как попал - этих подробностей История не сохранила..попал вот. А оставаться он там может в том случае, если вращение вокруг вертикальной оси происходит с достаточно большой угловой скоростью; тогда центробежные силы создают в воде давления, которые не позволяют шарику вырваться из своей нижней точки.

На мой взгляд, центробежные силы отбросят воду на периферию, оставив для воздуха кольцевой зазор вдоль внутренней поверхности трубки.

-- 21 окт 2012 00:24 --

Тьфу, первоначально не прочитал, что вращение происходит вокруг вертикальной, а не горизонтальной оси.

[dovlato]

Батороев: у меня были (и остались) ровно такие же интуитивные соображения. Уравнения появились уже потом. Было интересно проследить - как будет происходить смена устойчивых положений. А вертикальная ось - более просто анализируется.

[Батороев]

dovlato в сообщении #633226 писал(а):

Батороев: у меня были (и остались) ровно такие же интуитивные соображения. Уравнения появились уже потом. Было интересно проследить - как будет происходить смена устойчивых положений. А вертикальная ось - более просто анализируется.

При горизонтальной оси несомненно то, что воздух распределится вдоль внутренней поверхности трубки (например, как происходит в водокольцевых насосах). А вот при вертикальной оси при достаточно больших скоростях вращения согласен, что воздух может удерживаться внизу.

[anik]

Батороев в сообщении #633230 писал(а):

А вот при вертикальной оси при достаточно больших скоростях вращения согласен, что воздух может удерживаться внизу.

Здесь, на мой взгляд, уместна аналогия с гибким валом. Массивный диск насаженный на вал имеет резонансную частоту изгибных колебаний (диск может быть несбалансированным). Поведение такого диска при вращении вала зависит от скорости его вращения, существенно: частота вращения вала меньше резонансной частоты изгибных колебаний или больше. При увеличении угловой скорости вращения до критической (равенство частот, резонанс) ц.м. диска всё больше отклоняется от оси вращения и вибрация возрастает. Когда скорость вращения вала больше критической, происходит обратное явление, ц.м. и ось вращения начинают сближаться и вибрации уменьшаются. Вал при работе в таком режиме называют гибким.
В том посте, где я писал: "нижнее положение пузырька при таких условиях устойчивым никогда не будет", имелись в виду докритические скорости вращения.

dovlato в сообщении #629604 писал(а):

Начальная угловая скорость вращения $\omega>\omega_0=\sqrt{g/R}$.

Частота $\omega_0$ и есть критическая.
Уместна ли такая аналогия?

[dovlato]

Я думаю, случай с валом несравнимо сложнее. Там уже именно динамика, колебания, резонанс. Тогда как здесь всё ещё решается на уровне квазистатики. Если уж честно, я помещал эту задачу, не успев решить её до конца; у меня оставались сомнения - будет ли смещение шарика непрерывной функцией $\omega$, или же возможен перескок (оттуда и мои оговорки относительно слабого трения). Всё определяется поведением функции $U(\alpha)$. И действительно, при $\omega>\omega_0$ равновесное положение будет в нижней точке. Тогда как при $\omega\leqslant\omega_0$ пузырёк всплывает в верхнюю точку обода. Причём при слабом трении пузырёк проскакивает высшую точку, затем возвращается; могут возникнуть затухающие колебания. Картинка не совсем тривиальная, при внешней простоте. В принципе, можно исследовать поведение модели, если там не маленький пузырёк, а воздушный промежуток конечных размеров. Опять же качественно ясно, что при достаточно большом воздушном промежутке его нижнее положение никогда устойчивым не будет.

[anik]

dovlato
Вы заинтересовали меня этой задачей. Попробую её порешать, может быть что-нибудь и получится?
Вот только предварительные соображения.

dovlato в сообщении #633105 писал(а):

Как попал - этих подробностей История не сохранила..попал вот.

Дело в том, что либо в начале раскрутки мы должны как-то удерживать пузырёк внизу, либо после раскрутки из верхнего положения пузырька, как-то переместить его вниз. Будут соответствующие переходные процессы.
А иначе, задача становится несколько искусственной, можно рассматривать такую область устойчивости куда реальная система попасть не сможет. Ведь при вращении из верхнего положения пузырька перескочить вниз через потенциальный барьер он сам по себе не сможет.