Свободная группа

[INDIGO1991]

Здавствуйте!

Пусть есть свободная группа с тремя образующими $F = <<a,b,c>>$.
Нужно показать, что число элементов фактор-группы $F/G$ не больше 24. Где $G$ задается соотношениями $a^2 = 1$, $b^2 = 1$, $c^2 = 1$, $abab = 1$, $acacac = 1$ и $bcbcbc = 1$.

Спасибо.

Какие мысли имеются:
1) $a = a^{-1}$ также для остальных образующих. т.е. ни какое слово не может содержать две подрядидущие одинаковые буквы. т.е можно закодировать все это последовательностью троек вида $(\alpha,\beta,\gamma)$, где $\alpha,\beta,\gamma \in \{0,1\}$
2) $ab=ba$
3) $acac=ca$ и все подобные соотношения
4) $(abc)^4=1$

Мне также остается неясным, что факторгруппа будет конечна.
Может у кого есть идеи?

[Sonic86]

INDIGO1991 в сообщении #633179 писал(а):

Может у кого есть идеи?

1. Все-таки попробовать добить перебор всех возможных классов эквивалентных слов (выбрать представители класса, кратчайшие или на свой вкус).
2. Число $24=4!$, что какбе намекает на $S_4$. Хотя может это не она.
3. Покопаться в умных книжках (сейчас сам покопаюсь, может поможет построение графа группы и шрайерова трансверсаль)

[INDIGO1991]

Спасибо.

1) Я вот сейчас какраз пытаюсь перебирать, но там есть проблема в том, что слов много и в том что можно не заметить одинаковые слова.

2) Я думаю, что связи с $S_4$ быть не должно. Задача пришла из топологии, при построении накрытия над букетом трех окружностей для данной подгруппы возник вопрос сформулированный в первом сообщении.

3) В книжках пытался рыться (правда в книжках по топологии) пока ничего подходящего не нашлось.

[Sonic86]

INDIGO1991 в сообщении #633194 писал(а):

2) Я думаю, что связи с $S_4$ быть не должно.

Жаль. А то есть представление для $S_4$, можно было попытаться доказать изоморфизм...

3) Я смотрел в книгах по свободным группам...

Я тогда сейчас тоже попробую...

-- Сб окт 20, 2012 16:26:39 --

Просто граф Кэли постройте. 10 мин на это хватит. Ровно $24$ вершины. Поскольку $a^2=b^2=c^2=1$, то граф неориентированный - уже легче. Степень каждой вершины - 3.

-- Сб окт 20, 2012 16:35:25 --

Я даже соответствующий многогранник нашел: усеченный октаэдр

[INDIGO1991]

Спасибо!

Сейчас еще раз попробую.