Элементарная теория вероятностей

[newbie]

Здравствуйте!
Помогите решить пожалуйста следующую задачку. Понимаю что все просто, но ответ у меня не получается хоть убей. Итак:

Пять клиентов случайным образом обратились в 4 фирмы. Какова вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится? Ответ: 0,765



Приведу свое решение. Оно мне кстати нравится, уже начинаю думать об опечатке в учебнике

Поскольку не важно какой клиент в какую фирму обратится, можно использовать статистику Бозе - Эйнштейна. Имеем: n = 5 частиц, m = 4 ячейки, событие что в какой то ячейке ровно k = 0 частиц. По формуле получаем 7С2 / 8С3 = 0.375. До ответа далеко.

Заранее спасибо!

[Brukvalub]

Я думаю, ответ в задаче округлен. Правильный ответ: 49/64.

Добавлено спустя 14 минут 9 секунд:

newbie писал(а):

Поскольку не важно какой клиент в какую фирму обратится, можно использовать статистику Бозе - Эйнштейна

Кстати, почему это не важно? Очень даже важно!

[newbie]

Brukvalub
выложите пожалуйста решение.

Насчет не важности клиентов - собственно не спорю, даже не знаю почему так подумал.

[Brukvalub]

Каждый из клиентов, независимо от других, может выбрать любую фирму, поэтому общее число вариантов выбора равно

\[4^5 \]

Ясно, что требуемое условие не выполняется тогда и только тогда,когда какие-то 2 клиента пошли в одну фирму, а остальные - по одному в каждую из оставшихся фирм. "Склеим" пошедших вместе клиентов в один объект, разных таких склеек можно образовать

\[C_5^2 \]

штук, после чего каждый раз появляется 4! возможностей распределить объекты по фирмам. Итак,

\[ P(A) = 1 - P(\bar A) = 1 - \frac{{4!C_5^2 }}{{4^5 }} \]

[PAV]

Здесь не принято выкладывать готовые решения для простых задач, но принято помогать в них разбираться. Сформулируйте, как Вы пытаетесь ее решать, с чего начинаете, в какой момент возникают затруднения.

Для затравки можно сначала разобраться, что здесь представляет собой пространство элементарных исходов эксперимента, сколько их, является ли ситуация классической или неклассической. По какому принципу в данной задаче вообще находятся вероятности любых событий и к чему, стало быть, сводится конкретно данная задача.

Добавлено спустя 3 минуты 4 секунды:

Я бы решал чуть более длинно, по формуле включений-исключений.

[newbie]

Brukvalub, спасибо!

Благодаря Вам разобрался с этой и еще с парочкой подобных задач.

PAV, хорошо, учту. Хотя надеюсь, больше не придется спрашивать помощи в решении простых задач

[PAV]

Метод, который предложил Brukvalub, действительно достаточно простой и красивый, но он хорош именно для таких чисел. Если бы в задаче было больше клиентов, то он уже становится достаточно сложным, так как нужно учесть все возможные комбинации по фирмам. С помощью же формулы включений-исключений задача решается таким же образом.

[newbie]

Все таки мне снова нужна помощь. Чего-то тяжело теорвер дается


Задача: найти вероятность того, что в пятизначном числе имеются 2 четные цифры и 3 нечетные, при условии, что все они различны (считаем, что пятизначное число не может начинаться с нуля). Ответ: 0,73

Мое решение.
Общее число элементарных исходов: $\Omega$ = 9*10^4.

Благоприятствующие исходы можно разбить на две группы: когда первая цифра - четная и когда первая цифра - нечетная.

Первая цифра четная.
Выбираем любую четную цифру из четырех: $C_4^1. Далее, выбираем три цифры из пяти нечетных: $A_5^3. В нашем числе их можно расставить $C_4^3 способами. И наконец, берем еще одну четную цифру: $C_4^1. Итого: 3840 исходов.

Первая цифра нечетная
Берем любую нечетную цифру: $C_5^1. Берем еще две цифры и расставляем по числу: $A_4^2 $C_4^2. Берем два четных числа: $A_5^2. Итого: 7200.

Складываем полученные результаты и делим на общее число исходов: (3840+7200) / 90000 = 0,123. С ответом не сходится.

Помогите разобраться.

[ИСН]

Скока-скока всего исходов? "при условии, что все они различны" - это куда делось?

[newbie]

Ок, тогда $\Omega$ = 9$A_9^4 и ответ получается 0,4.

Добавлено спустя 17 секунд:

По прежнему что-то не то

[Brukvalub]

newbie писал(а):

Первая цифра четная.
Выбираем любую четную цифру из четырех: $C_4^1. Далее, выбираем три цифры из пяти нечетных: $A_5^3. В нашем числе их можно расставить $C_4^3 способами. И наконец, берем еще одну четную цифру: $C_4^1. Итого: 3840 исходов.

В этом подсчёте тоже ошибки, причем не одна!

[newbie]

Brukvalub
уверен, что они там есть, но не вижу

Попробовал зайти с другого конца, получил тот же ответ: всего способов составить число из 2х четных и 3х нечетных цифр: A_5^2 C_5^2 A_5^3 = 12000. Всего пятизначных чисел, начинающихся с нуля: A_5^3 C_4^3 A_4^1 = 960. 12000 - 960 = 11040.

[Brukvalub]

Должен извиниться перед вами за своё предыдущее сообщение (у меня глючит сеть, и Ваши подсчеты открылись не полностью, что видно по моему цитированию). Сейчас все открылось, и в ходе проверки я не вижу у Вас ошибок! Единственное, после правильного округления Вашего ответа, получается 0.41

[newbie]

Значит опечатка в учебнике.

Как же я не люблю опечатки в учебниках


Brukvalub, не могли бы Вы посоветовать какой нибуть хороший, проверенный временем учебник по теорверу, пригодный для самостоятельного обучения? А то мой, судя по всему, доверия не заслуживает.

[Brukvalub]

newbie писал(а):

Значит опечатка в учебнике.

Я бы не стал так спешить с выводами. Дело в том, что я проверял решение "одним глазом", попутно делая еще несколько дел, поэтому я почти уверен в отсутствии ошибки, но лучше подождем, пока Ваше решение проверит кто-нибудь еще (я очень рассчитываю, например, на PAV, который, в отличие от меня. является специалистом по теории вероятностей). Теперь про учебники: мне нравится вот эта книга: Феллер В. — Введение в теорию вероятностей и ее приложения (том 1), Феллер В. — Введение в теорию вероятностей и ее приложения (том 2), хотя я знаю немало и других хороших книг по теории вероятностей. Опять же, лучше подождать более компетентного мнения спецов.