Задачи по теории множеств(построить биекцию)

[tiktak]

1. Построить биекцию между замкнутым квадратом и замкнутым кругом.
2. Пусть $X$ - множество всех ненулевых векторов плоскости, $\uparrow\uparrow$ - отношение сонаправленности.Установите бикцию между $X/\uparrow\uparrow$ и окружностью радиуса 1.

В первой наверное можно сначала построить биекцию между кругом и плоскостью(инверсия), затем между квадратом и плоскостью.Но как-то громоздко все выходит, наверное можно проще.

[gris]

Между выпуклыми (не только) замкнутыми фигурами проще строить биекцию с помощью полярной системы координат. Совмещаем две внутренние точки, в нашем случае центры, а потом растягиваем или сокращаем отрезки.

Во втором примерно то же самое. Определить вначале биекцию ежду фактор-множеством и очевидным семейством векторов, которое в свою очередь биективно окружности.

[arseniiv]

gris в сообщении #628391 писал(а):

Определить вначале биекцию между фактор-множеством и очевидным семейством векторов

Зачем? Каждый класс эквивалентности — это как раз семейство векторов.

[tiktak]

Все равно не понимаю как сделать вторую.

[ИСН]

Как Вы понимаете, что такое это $X/\uparrow\uparrow$?

-- Вс, 2012-10-14, 01:30 --

(В моём понимании это тупо "она и есть", и устанавливать нечего.)

[tiktak]

Это, видимо, класс эквиволентности по отношениию сонаправленности. То есть я правильно понимаю, что нужно построить биекцию между произвольным вектором $a$, всеми ему параллельными векторами и окружностью? это не то же самое, что и биекция между окружностью и плоскостью?

[Joker_vD]

Элемент $X/{\uparrow\!\uparrow}$ — это, в сущности, луч с началом в $O$. Он пересекает единичную окружность в одной-единственной точке. И обратно, через $O$ и точку на единичной окружности можно провести луч, и ровно один.

(Оффтоп)

На самом деле, элемент $X/{\uparrow\!\uparrow}$ — это множество радиус-векторов всех точек какого-то одного луча с началом в $O$. Но это не принципиально.

[arseniiv]

(Открытый луч, без нуля!)

[ewert]

arseniiv в сообщении #628482 писал(а):

gris в сообщении #628391 писал(а):

Определить вначале биекцию между фактор-множеством и очевидным семейством векторов

Зачем? Каждый класс эквивалентности — это как раз семейство векторов.

Речь о другом семействе -- о семействе представителей для каждого класса.

tiktak в сообщении #630577 писал(а):

То есть я правильно понимаю, что нужно построить биекцию между произвольным вектором $a$, всеми ему параллельными векторами и окружностью?

Неправильно. Вам предлагали выбрать из каждого класса по одному представителю. Это можно делать, разумеется, самыми разными способами -- фактически дело сводится к наложению некоторого требования, которое отбирает из каждого класса ровно один вектор; однако среди всех мыслимых таких требований есть одно наиболее напрашивающееся.

[alcoholist]

что же мучать-то человека... пусть проверяет, что $v\mapsto v/\|v\|$ биекция $X\to S^1$

[ewert]

alcoholist в сообщении #630818 писал(а):

пусть проверяет, что $v\mapsto v/\|v\|$ биекция $X\to S^1$

Что-то Вы явно не то написали. Что есть биекция чего, и на что, и как?... Вот если заменить в этой фразе слово "биекция" на просто "отображение", то она станет формально уже безусловно корректной, но и к делу отношения иметь не будет.

[alcoholist]

ewert в сообщении #630825 писал(а):

Что есть биекция чего, и на что, и как?

указано же: $X$ на $S^1$ (реализованную как как подмножество плоскости)

как указано -- пусть доказывает, что отображение корректно определено

[ewert]

Совершенно верно, $v\mapsto v/\|v\|$ есть отображение $X$ на $S^1$. Но это совсем не биекция, и тем более совсем не та биекция, которую требовалось построить ТС -- между фактормножеством и сферой (хотя оно и необходимо для построения). Не сбивайте человека с толку, у него и так в голове каша.

[tiktak]

Все таки хочу с этим разобраться до конца.
Вообще суть в том чтобы во-первых построить биекцию между всеми векторами одного класса и одним удобным вектором с этого же класса, во-вторых построить биекцию между множеством таких векторов и окружностью радиуса 1.Я правильно понял?
Если это так, то как построить биекции?

Еще пара вопросов
1)В книге Шеня указано, что между $N$ и $N \times N$ можно построить взаимно однозначное соответствие заданное многочленом второй степени с рациональными коэффициентами.Как его найти?
2)Если существует инъекция из $A$ в $B$, то существует инъекция из $A^C$ в $B^C$ ($A^C$ означает множество всех отображений из $C$ в $A$).Это в общем очевидно, но доказательство у меня выходит слишком громоздким, для такой задачи.
3)Доказать, что $R + 1 + R \simeq R$ .

[ИСН]

Степаныч пошёл на охоту. Нашёл берлогу. Тыкал ружьём через отдушину, чтобы разбудить медведя, но не сумел. С горя на обратном пути подстрелил ворону. Одно из этих применений ружья - правильное, другое - нет. Та же самая картина у Вас со словом "биекция".

-- Чт, 2012-10-18, 21:12 --

Теперь про многочлен. Что Вы собираетесь искать и как поймёте, он ли это, если его увидите? Вот, например, $(x + y - 1) (x + y - 2)/2 + x$: с ним как?