Теория чисел и групп.

[Deceember]

Не могу решить две задачки, поэтому очень прошу вашей помощи)

1) Найти остаток от деления 15!/17, как это получше сделать?

2) Построить таблицу умножения нециклической группы из 9 элементов. И будет ли эта группа коммутативной?
Подскажите здесь вообще с чего начинать? И как это сделать вообще для любой группы?

3) Можете объяснить как совсем для чайников для чего мы ищем левый и правый смежный класс и что нам дает их равенство. Как я искать умею, но зачем не очень понимаю( Буду очень благодарен))

[Doil-byle]

А тут теорему Вильсона можно использовать.

[ИСН]

Можно. Но нужно - умножением в группе $Z^*_{17}$, раз уж у нас теория групп.

[Doil-byle]

(Оффтоп)

Теорема Вильсона - это, по-идее, тоже теория групп.

[Someone]

Deceember в сообщении #632243 писал(а):

1) Найти остаток от деления 15!/17, как это получше сделать?

Если не по теореме Вильсона, а непосредственным вычислением, то так: полагаем $\Pi_1=1$, $\Pi_k=\Pi_{k-1}\cdot k\pmod{17}$ при $k=2,3,\ldots,15$. $\Pi_{15}$ - это то, что нужно.

Deceember в сообщении #632243 писал(а):

2) Построить таблицу умножения нециклической группы из 9 элементов. И будет ли эта группа коммутативной?
Подскажите здесь вообще с чего начинать?

А Вы какую-нибудь нециклическую группу из 9 элементов знаете?
И что именно от Вас требуется: просто привести пример такой группы, или же показать, что она единственная?

Deceember в сообщении #632243 писал(а):

Можете объяснить как совсем для чайников для чего мы ищем левый и правый смежный класс и что нам дает их равенство.

Равенство даёт возможность определить произведение смежных классов так, чтобы получилась группа (она называется фактор-группой), и чтобы при этом выполнялось равенство $aH\cdot bH=(ab)H$, которое позволяет определить гомоморфизм исходной группы в фактор-группу.

[Deceember]

Была ночь и я совсем забыл про Лемму Вильсона, тогда все просто) Спасибо)

Насчет задания про не циклическую группу из 9 элементов. Задачу перепечатал из методички. Как я понял при такой формулировке надо привести хотя бы одну, хотя зная нашего препода можно предположить что она будет и единственна( Я , на самом деле, даже не знаю как подступиться(

[ИСН]

Про группы порядка 4 слышали? Сколько их? Какие? Вот и там точно так же.

[Deceember]

Не очень понимаю о чем вы( В смысле порядка 4. Это же могут быть и группы подстановок и группы остатоков, как от этого перейти к чему-то более общему?

[ИСН]

Не надо к более общему. Перечислите все*, как их понимаете.
--------
* - с точностью до изоморфизма.

[Deceember]

Ну давайте посмотрим)

Группа из 9 элементов должна иметь вид
(e,a,b,c,d,e,f,g,h)

У нее очень большая таблица умножения из 81 элемента, но есть условие что она нециклическая, т.е образующего элемента нету. Была бы она 4 на 4 там не знаю, я бы что-нибудь поперебирал и нашел бы. Но здесь блин 81!!! Поэтому и прошу вас помочь с чего начать перебор.

-- 18.10.2012, 15:42 --

Кст, а если в задаче написано построить таблицу умножения, то мы же именно рассматриваем группу по умножению и условием существования группы ставим наличие e а не 0?

[ИСН]

Не надо пока 9. 9 - это очень много, практически за пределами воображения. Перечислите группы порядка 4. Четыре. Перечислите их. Да.

[Deceember]

Щас перечислю) Только расскажите потом как перейти к 9?. И у меня еще вопрос. Вот смотрите я когда нахожу левый и правый смежные классы, если они равны то группа называется нормально, правильно? Что в общем смысле значит нормальная группа, и как искать фактор группу по заданной подгруппе. Я в учебнике прочитал уже 3 раза но не понял. Если сможете на пальцах, будет совсем замечательно. Для 4 таблицы щас составлю)

[Deceember]

Для 4ех я тоже немного запутался, но, надеюсь вы поможете мне распутаться. Поскольку мощность группы равна 4, то по теореме Лагранжа подгруппы могут состоять либо из 2х элементов по 2. Либо из четырех элементов. Если есть одна подгруппа состоящая из четырех элементов. Подгруппу порядка 4 можно составить, например a-нейтральный элемент искомой группы. $e=b^0; c=b^2; d=b^3;$ и получить некоторую циклическую группу с соотвествующей таблицей умножения. Это замечательно. Но тут сразу вопрос. Почему если у группы всего одна подгруппа то она обязательно будет циклической. Далее Надо попробовать составить 2 подгруппы у которой будет 2 элемента. Но у меня не определена операция, чтобы определеить, подгруппа это или нет( И тут я встал(

[ИСН]

Зачем какие-то подгруппы? Зачем операция? Просто выпишите таблицу умножения. От балды, с потолка. Всего-то 16 клеток. 4 элемента: e, a, b, c. Результат умножения на e, как говорится, немного предсказуем. Остаётся всего ничего, а на самом деле ещё меньше, потому что любой выбор в любой клеточке здорово сужает выбор во всех остальных клеточках. Как-то так.

-- Чт, 2012-10-18, 19:12 --

или вообще ничего не делать, а прочитать

(Оффтоп)

http://dxdy.ru/topic56970.html

[Deceember]

У меня же сейчас стоит задача, найти все подгруппы состоящие из 4 элементов, как я их могу выписывать с потолка? Я могу посидеть и потыкать в табличку, но не хочу потому что хочу обоснованное решение( И первая моя нормальная мысль была о том что подгруппы могут быть величиной 4 и (2;2). И теперь я не знаю как развить эту мысль. Простое тыканье к группе в 9 элементов еще и нециклической меня никогда не привет(

-- 18.10.2012, 19:16 --

И я уже придумал точно 2 заполнения чтобы оно было группой, правда я не умею набирать табличку в латехе поэтому не буду перепечатывать( Одна из них получилась циклической другая нет. В итоге их 2. А вдруг 3. Я же не все перебрал и не могу в этом быть уверен(

-- 18.10.2012, 19:23 --

И я правда наверное очень туплю, но я не понимаю что написано в книжке про фактор-группу и как разложить группу по подгруппе. Если скажете немного об этом, тоже буду очень благодарен

-- 18.10.2012, 19:32 --

И я не нашел в том птопике, что доказано что группа из 4 элементов только циклическая и других нет. Там просто приведен пример. Но я могу привести другой где она не циклическая. А так как она не циклическая, то сколько таких групп утверждать нельзя. Я их ограничил число двумя. И теперь пытаюсь двигаться дальше, но тпереь застопорился и нуждаюсь в помощи(

-- 18.10.2012, 19:33 --

И я не нашел в том птопике, что доказано что группа из 4 элементов только циклическая и других нет. Там просто приведен пример. Но я могу привести другой где она не циклическая. А так как она не циклическая, то сколько таких групп утверждать нельзя. Я их ограничил число двумя. И теперь пытаюсь двигаться дальше, но тпереь застопорился и нуждаюсь в помощи(