Найти обратный степенной ряд, комбинаторика

[fifa11]

Помогите пожалуйст решить:
Найти (с объяснением) обратный степенной ряд для степенного ряда:
$f(x)=1+x+x^2+x^3+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n$

Спасибо.

AKM:

Исправил Вашу \sum_{n=0}^{\text{+бесконечность}}.
Сойдёт так?

Спасибо!

[Xaositect]

Что такое обратный степенной ряд?

[ИСН]

Наверное, обратный в числ
Да-да, мне тоже теперь стало непонятно.

[fifa11]

Дефиниция:
Если $F(x)G(x)=1$, тоесть $(1x^0+0x+...+0x^n)$, тогда можно сказать, что $G(x)$ есть обратный степенной ряд $F(x)$, тоесть $G(x)=F(x)^{-1}$

пример:
$(\sum\limits_{n\geqslant0} {a^n x^n})(1-ax)=\sum\limits_{n\geqslant0} {c_nx}=1$
тогда:
$(\sum\limits_{n\geqslant0} {a^n x^n})^{-1}=(1-ax)$

[Xaositect]

Вот и замечательно.
Давайте это воспримем как уравенение на $G$ и будем его решать.
Пусть $f(x) = \sum a_ix^i$ (у нас все $a_i = 1$), $g(x) = \sum b_i x^i$ и $h(x) = f(x)g(x) = 1$.
Какой будет свободный член у ряда $h$? $a_0 b_0$. А справа он равен $1$. То есть $b_0 = \frac{1}{a_0}$ (в частности, ряд обратим только если у него свободный член обратим).
Какой будет коэффициент при $x$? $a_1 b_0 + a_0 b_1$. Справа при всех иксах нули. То есть $b_1 = -\frac{a_1 b_0}{a_0}$.

И так далее. Рассматривайте конкретный случай $a_i = 1$, найдите несколько членов ряда $g$ (штук 5) и докажите по индукции что будет нужно. А когда решите, вспомните про сумму геометрической прогрессии и помедитируйте. :)

[fifa11]

Хмм... спасибо, буду разбираться.

[Xaositect]

Ой, а у Вас пример написан, я его не заметил. Разве Ваше задание под пример не подходит?
Впрочем, лучше все равно решите его по определению, это полезно.

[fifa11]

Пример я дописал потом, просто пока не очень понятно, что к чему