Вопрос из проективной геометрии

[Nikolai Moskvitin]

Добрый вечер!

Меня интересует, можно ли утверждать, что при проективном преобразовании четыре точки на одной окружности при изменении метрических свойств этой конструкции переходят в четыре точки, не лежащие на одной окружности?
Вроде, они должны лежать на эллипсе с неедичным эксцентриситетом.

С уважением, Николай

[gris]

Но из того, что точки лежат на эллипсе, не следует, что они не лежат на какой-нибудь окружности. Конечно, это очень специальное расположение четырёх точек. Но вот представьте: вершины квадрата переходят в вершины равнобочной трапеции.

[BVR]

Вообще эллипс гипербола и парабола проективно эквивалентны. Поэтому 4 точки лежащие на одной окружности могут перейти в точки, не лежащие на ней. Но существуют преобразования, которые круг переводят в себя.

[Munin]

Исходная окружность переходит в эллипс с неединичным эксцентриситетом - это верно. Так что четыре точки снова на окружности, в общем случае, лежать не будут (зафиксируем три из них, тогда четвёртая сможет оказаться в любом месте эллипса, то есть в общем случае не на описанной окружности первых трёх).

Аналогично тому, как через любые три точки можно провести окружность, через любые пять точек можно провести эллипс или другую квадратичную кривую (какую именно, зависит от взаимного расположения точек, некоторые расположения позволяют гиперболу, но не позволяют эллипс, например).