Критерий Неймана-Пирсона в случае неравных носителей

[ShMaxG]

Рассмотрим пример.
Пусть даны две простые гипотезы

$$\[\begin{gathered} {H_0}:f\left( {x|{H_0}} \right) = \left[ \begin{gathered} 1,{\text{ }}x \in \left[ {0,1} \right] \hfill \\ 0,{\text{ }}x \notin \left[ {0,1} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ {H_1}:f\left( {x|{H_1}} \right) = \left[ \begin{gathered} {e^{ - x}},{\text{ }}x \geqslant 0 \hfill \\ 0,{\text{ }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Требуется построить решающее правило, соответствующее критерию Неймана-Пирсона при некоторой ошибке первого рода $\[\alpha \]$, и вычислить ошибку второго рода. Пусть объем выборки равен $n$.

Правильно ли я понимаю следующие вещи:

1. Естественным в данной задаче является считать, что выборочное пространство есть $\[{\left[ {0, + \infty } \right)^n}\]$, так как иначе получение таких значений реализации выборки говорит о том, что исходная задача поставлена неверно (не полный и/или неверный список гипотез). Вообще во всякой задаче выборочным пространством мы можем считать объединение носителей функций правдоподобия, соотв. всем гипотезам.

2. Критическую область можно описывать в терминах функции отношения правдоподобия следующим образом:

$$\[{\Omega _1} = \left\{ {x:l\left( x \right) = \frac{{L\left( {x|{H_1}} \right)}}{{L\left( {x|{H_0}} \right)}} \geqslant {c_\alpha }} \right\}\]$$

где число $c_\alpha$ вычисляется из уравнения

$$\[\int\limits_{{\Omega _1}} {L\left( {x|{H_0}} \right)dx} = \alpha \]$$

(предполагается, что для данного $\alpha$ равенство может быть выполнено для некоторого $c_\alpha$). При этом мы должны считать $\[l\left( x \right) = + \infty \]$ там, где $\[L\left( {x|{H_0}} \right) = 0\]$. Таким образом, функция отношения правдоподобия

$$\[l\left( x \right) = \left[ \begin{gathered} + \infty ,x \notin {\left[ {0,1} \right]^n} \hfill \\ {e^{ - \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }},x \in {\left[ {0,1} \right]^n} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

где $\[x = \left( {{x_1},...,{x_n}} \right)\]$.

3. Все точки $\[x \notin {\left[ {0,1} \right]^n}\]$ войдут в критическую область $\[{\Omega _1}\]$ и их следует учитывать при вычислении ошибки второго рода $\[\beta = 1 - {\mathbf{P}}\left( {{H_1}|{H_1}} \right)\]$.

[--mS--]

1. Не очень понятно, какую особую роль должно играть выборочное пространство, чтобы его специальным образом подбирать. Можно просто $l(x)$ рассматривать только при тех значениях $x$, при которых хоть одна из функций правдоподобия положительна, а в области, где обе нулевые, полагать всё что угодно - например, не включать её или включать в критическую область. Но проще, конечно, область определения критерия сузить до объединённого носителя. Вот только не потому, что расширение её будет что-то означать про гипотезы. После того, как две гипотезы сформулированы, нет и не может быть никаких "других гипотез", а попадание выборки в множество нулевых плотностей есть событие нулевой вероятности при любой из гипотез. Поэтому сузить выборочное пространство имеет смысл просто чтобы не задавать значение критерия в области заведомо нулевой вероятности.

2 и 3 - да, разумеется.

[ShMaxG]

Понятно, спасибо.