Задачка по Теретической Механике

[illuminates]

Тело массы m без начальной скорости с некоторой высоты h скатывается по кривой заданной уравнением $ y=x^{1/2}$. На некоторой высоте тело отрывается от кривой. Найти высоту на которую нужно поставить тело, если высота отрыва есть 3м

Решаю через L. Дальше уравнений Лагранжа не знаю теории.

Проверьте пожалуйста решение:
http://narod.ru/disk/62302042001.d107f0 ... 5.jpg.html
у меня в конце получилось уравнение которое решить не могу. Возможно что-то делаю неправильно, или еще добавить уравнений связи надо.

[мат-ламер]

Ваше решение не смотрел, поскольку лень файл качать. Можно попробовать найти центробежную силу через кривизну кривой. Формулу кривизны смотрите в учебнике по дифгеометрии.

[Oleg Zubelevich]

Уравнения движения:

$$m\frac{d^2}{dt^2}y^2=T_1,\quad m\frac{d^2}{dt^2}y=T_2-mg$$

В этих уравнениях надо исключить $\frac{d^2}{dt^2}y$

Условие отрыва это обращение в ноль реакции связи $\overline T=(T_1,T_2)$

понадобится интеграл энергии

$$\frac{m}{2}\Big(\dot y^2+\Big(\frac{d}{dt}y^2\Big)^2\Big)+mgy=h$$

[illuminates]

мат-ламер
я бы здесь размести но как не знаю. ваш способ слишком сложный, такого не проходили

-- 11.10.2012, 14:35 --

Oleg Zubelevich
спасибо, но к сожалению интеграл энергии не проходили, нельзя ли по уравнению Лагранжа как у меня написанно?

[Ales]

Из механики тут только превращение потенциальной энергии в кинетическую (школьный курс).
Остальное аналитическая геометрия - надо найти кривизну кривой в точке 3 метра.
Центробежная сила (находится по скорости и радиусу кривизны) компенсирует проекцию силы тяжести на нормаль (перпендикуляр к касательной) - тело слетает с кривой.

"Интеграл энергии" - закон сохранения энергии.
Интегралом в механике называют некоторую постоянную величину.

[ewert]

Зависимость полной скорости от координаты Вам известна (из закона сохранения энергии). Зависимость радиуса траектории от координаты -- тем более. Нормальная составляющая силы тяжести -- тем ещё более. Шарик не оторвётся на данной координате, если эта нормальная составляющая в той точке не меньше центробежной силы; вот Вам и уравнение на координату.

Другое дело, что это уравнение (вроде бы) оказывается каким-то совсем уж нехорошим с точки зрения его решения в явном виде; но тут уж ничего не поделаешь, и остаётся тем уравнением лишь прокукарекать.

Ну и нельзя не заметить, что сама постановка постановка задачи с чисто физической точки зрения вполне нелепа. Зачем-то пристёгнута никому не нужная масса, и при этом уравнение траектории $y=\sqrt x$ лишено смысла по соображениям размерностей.

[Oleg Zubelevich]

Похоже, советчики ориентируются в предмете не больше чем ТС. А задача-то уже решена.
Исключая $\ddot y$ из уравнений

Oleg Zubelevich в сообщении #629243 писал(а):

$$m\frac{d^2}{dt^2}y^2=T_1,\quad m\frac{d^2}{dt^2}y=T_2-mg$$

при $\overline T=0$ мгновенно находим $\dot y^2=gy$. Это уравнение выполняется в момент отрыва точки от параболы, это и есть условие отрыва. Остается воспользоваться законом сохранения энергии, который тоже уже выписан.

-- Чт окт 11, 2012 22:36:04 --

ewert в сообщении #629692 писал(а):

Другое дело, что это уравнение (вроде бы) оказывается каким-то совсем уж нехорошим с точки зрения его решения в явном виде; но тут уж ничего не поделаешь, и остаётся тем уравнением лишь прокукарекать.

с линейными уравнениями проблемы?

[Ales]

Oleg Zubelevich в сообщении #629706 писал(а):

Похоже, советчики ориентируются в предмете не больше чем ТС. А задача-то уже решена.

Согласен.
Надо использовать формулы, а не геометрию.
Решается в 5 строк:
Координаты: $x,y$
Искомая высота: $y_0$
Движение по параболе: $x=y^2$
Из движения по параболе (дифференцирую по времени) имеем: $\dot x = 2y \dot y, \ddot x = 2 \dot y^2 + 2 y \ddot y$.
В точке отрыва $y = 3$, и как написал О.Зубелевич, ускорение - это ускорение свободного падения: $\ddot x = 0, \ddot y = -g$.
Следовательно, в точке отрыва: $\dot y^2 = gy=3g, \dot x^2 = 4 y^2 \dot y^2 =4 g y^3=108 g$.
Закон сохранения энергии: $\frac 1 2 (\dot x^2+\dot y^2) + g y =g y_0$.
Вставляем в закон сохранения энергии: $\frac 1 2 (108g+3g) + 3g =g y_0$.
-- Пт окт 12, 2012 20:36:59 --

ewert в сообщении #629692 писал(а):

сама постановка постановка задачи с чисто физической точки зрения вполне нелепа

Но это же учебная задача.
Реальные задачи так просто не всегда можно решить.

[illuminates]

всем спасибо, задачу решил!