Частные случаи теоремы Ферма

[vix]

Добрый день, хочу поделиться мыслями относительно элементарного доказательства частных случаев теоремы. Пусть показатель степени будет четным. Тогда $(x^b)^2 + (y^b)^2 = (z^b)^2$. Причем, $b > 1. В таком случае $x^b, $y^b, $z^b представляют собой пифагорову тройку, должно выполняться:
$\begin{cases}m^2-n^2=x^b\\ 2mn=y^b\\ m^2+n^2=z^b\end{cases}$
Где m и n - взаимнопростые числа. Пусть m и n будут нечетными. Рассмотрим $2mn=y^b. 2mn - четное число, следовательно, y - тоже четное, тогда:
$2mn=2^by_1^b
$mn=2^b^-^1 y_1^b
Если b>1 (т. е. степень исходного уравнения выше 2), то правая часть выражения четна, а левая нечетна по условию, что невозможно.
Получается, если брать m и n нечетными, то для всех таких случаев исходное равенство $(x^b)^2 + (y^b)^2 = (z^b)^2$ невозможно при степени выше второй (при b>1).

[Chernoknizhnik]

Если так, то да. А как насчет того, когда среди m и n только одно четное? Кстати говоря, если Вы возьметесь доказывать теорему Ферма (ну хотя бы ради упрощения существующего доказательства), то доказывать её достаточно лишь для простых показателей!

[Belfegor]

vix в сообщении #630033 писал(а):

В таком случае $x^b, y^b,z^b$ представляют собой пифагорову тройку

Уважаемый vix! С чего вы это взяли?

[venco]

Belfegor в сообщении #630134 писал(а):

vix в сообщении #630033 писал(а):

В таком случае $x^b, y^b,z^b$ представляют собой пифагорову тройку

Уважаемый vix! С чего вы это взяли?

$(x^b)^2 + (y^b)^2 = (z^b)^2$

[vix]

Добрый день, наконец-то появилось время написать. Всем спасибо за ответы, но по их малому количеству сделал для себя вывод о том, что написал очевидную вещь.)

Chernoknizhnik в сообщении #630048 писал(а):

А как насчет того, когда среди m и n только одно четное?

Пусть, например, четным будет m, тогда $m=2^cm_1
$ 2^c ^+^1m_1n=2^by_1^b
Поскольку $m_1n и $y_1^b - нечетны, то равенство возможно только когда b=c+1

[vasili]

Уважаемый VIX! Если числа m и n нечетные, то решение уравнения не примитивное, т.е. числа
$X^b, Y^b, Z^b$ имеют общий делитель равный 2, а после сокращения на 2 получим X четным, а Y и Z нечетными и указанное Вами противоречие исчезло.

[vix]

Уважаемый vasili, не совсем понял, что значит «противоречие исчезло». $X^b, Y^b, Z^b$ действительно будут четными, но сокращаем-то мы их на одинаковое число. Т. е. если равенство невозможно для «неэлементарной» тройки, оно невозможно и для соответствующей «элементарной».

[AKM]

vix в сообщении #639636 писал(а):

сделал для себя вывод о том, что написал очевидную вещь.

Да.
Доказательство для чётных показателей очень простое, и, насколько я помню (искать ссылку сейчас лень, sorry, сами поищите), на чём-то подобном и основывается.

[vasili]

Уважаемый VIX! Указанное противоречие заключено в равенстве$2mn = Y^b$, но после сокращения на 2 число $Y^b$ будет нечетным, а число $X^b$ становиться четным, так как $(m - n)(m + n)$ после деления на 2 остается числом четным, т.е. противоречие между левой и правой частями равенства исчезает.

[anwior]

vasili в сообщении #641092 писал(а):

Уважаемый VIX! Указанное противоречие заключено в равенстве$2mn = Y^b$, но после сокращения на 2 число $Y^b$ будет нечетным, а число $X^b$ становиться четным, так как $(m - n)(m + n)$ после деления на 2 остается числом четным, т.е. противоречие между левой и правой частями равенства исчезает.

Из того, что вижу, думаю число $Y^b$ будет всё же четным.

[shwedka]

AKM в сообщении #640918 писал(а):

vix в сообщении #639636 писал(а):

сделал для себя вывод о том, что написал очевидную вещь.

Да.
Доказательство для чётных показателей очень простое, и, насколько я помню (искать ссылку сейчас лень, sorry, сами поищите), на чём-то подобном и основывается.

Доказательство, при этом, не для всех четных чисел, действительно элементарное, но далеко не простое. Оно использует понятия из элементарной теории чисел, выходящие за пределы знаний ферматиков-любителей.
Кому все же интересно, см.

Terjanian, Guy
Sur l'équation $x^{2p}+y^{2p}=z^{2p}$.
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 285 (1977), no. 16, A973–A975.

Hellegouarch, Yves Une généralisation d'un théorème de Terjanian. Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1989–90, 77–92, Progr. Math., 102, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1992

Hellegouarch, Yves Théorème de Terjanian généralisé. Sém. Théor. Nombres Bordeaux (2) 2 (1990), no. 2, 245–254.

Rotkiewicz, Andrzej On the equation $x^{p}+y^{p}=z^{2}$. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. 30 (1982), no. 5-6, 211–214.

Rotkiewicz, A. On Fermat's equation with exponent $2p$. Colloq. Math. 45 (1981), no. 1, 101–102 (1982).