2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мат методы классической механики. Многообразия.
Сообщение12.10.2012, 14:03 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Здравствуйте. Изучаю книгу Арнольда "Мат методы классической механики" и столкнулся с некоторыми трудностями. Хочу уточнить.

1. Насколько я понимаю, Арнольд выбрал неудачные обозначения. $\varphi\left(t\right)$ - кривая на карте $U$, в то же время $\varphi\left(q\right)$ - отображение карты в многообразие.

Изображение

Если обозначить на $U$ кривую $\gamma\left(t\right)$, то касательные векторы в точке $x$ будут иметь компоненты $\xi_i = \sum_j \left. \frac{\partial \varphi_i}{\partial q_j} \right|_{q=\gamma(0)} \left. \frac{d\gamma_j}{d t} \right|_{t=0}$. Так?

2. Верно ли я понимаю, что касательное расслоение многообразия - это множество касательных пространств во всех точках многообразия? Для примера задана кривая в $\mathbb{R}^2$: $x=\gamma(t)$.
Картой будет являться числовая ось $\mathbb{R}$,
многообразием - кривая $\gamma$,
отображением - функция $\gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$,
касательным пространством в точке $x^{*}$ - множество касательных векторов к кривой в этой самой точке,
расслоением многообразия - множество касательных пространств, т.е. множество, включающее все касательные векторы во всех точках кривой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат методы классической механики. Многообразия.
Сообщение12.10.2012, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
cupuyc в сообщении #629844 писал(а):
1. Насколько я понимаю, Арнольд выбрал неудачные обозначения. $\varphi\left(t\right)$ - кривая на карте $U$, в то же время $\varphi\left(q\right)$ - отображение карты в многообразие.

Книга несколько необычно оформлена типографски. Вместо полужирного прямого латинского шрифта использован полужирный курсив, так что читаемость понижена. И вместе с этим, аналогично использованы и греческие буквы светлого и полужирного прямого начертания. Если обратите внимание, в начале параграфа функция отображения карты в многообразие - светлая "фи" $\varphi(\boldsymbol{q}),$ а здесь кривая на карте - полужирная "фи" $\boldsymbol{\varphi}(t)$ (не могу отобразить точнее, потому что на форуме не установлены прямые греческие буквы). Подразумевается, что этого достаточно, чтобы понять, что это разные функции. Хотя читать неудобно.

cupuyc в сообщении #629844 писал(а):
2. Верно ли я понимаю, что касательное расслоение многообразия - это множество касательных пространств во всех точках многообразия?

Не просто множество. На нём заданы ещё дополнительные структуры: топология (близость точек) и связность (гладкость линий из точек, "локальная прямота", близость направлений в соседних точках).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат методы классической механики. Многообразия.
Сообщение12.10.2012, 20:08 


22/06/09
939
cupuyc в сообщении #629844 писал(а):
Верно ли я понимаю, что касательное расслоение многообразия - это множество касательных пространств во всех точках многообразия?

Вроде бы это называется тотальным пространством расслоения (или расслоенным пространством), а расслоением называют отображение из этого пространства на базу. А обратное отображение называется сечением расслоения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат методы классической механики. Многообразия.
Сообщение12.10.2012, 21:18 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group