Мат методы классической механики. Многообразия.

[cupuyc]

Здравствуйте. Изучаю книгу Арнольда "Мат методы классической механики" и столкнулся с некоторыми трудностями. Хочу уточнить.

1. Насколько я понимаю, Арнольд выбрал неудачные обозначения. $\varphi\left(t\right)$ - кривая на карте $U$, в то же время $\varphi\left(q\right)$ - отображение карты в многообразие.



Если обозначить на $U$ кривую $\gamma\left(t\right)$, то касательные векторы в точке $x$ будут иметь компоненты $\xi_i = \sum_j \left. \frac{\partial \varphi_i}{\partial q_j} \right|_{q=\gamma(0)} \left. \frac{d\gamma_j}{d t} \right|_{t=0}$. Так?

2. Верно ли я понимаю, что касательное расслоение многообразия - это множество касательных пространств во всех точках многообразия? Для примера задана кривая в $\mathbb{R}^2$: $x=\gamma(t)$.
Картой будет являться числовая ось $\mathbb{R}$,
многообразием - кривая $\gamma$,
отображением - функция $\gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$,
касательным пространством в точке $x^{*}$ - множество касательных векторов к кривой в этой самой точке,
расслоением многообразия - множество касательных пространств, т.е. множество, включающее все касательные векторы во всех точках кривой.

[Munin]

cupuyc в сообщении #629844 писал(а):

1. Насколько я понимаю, Арнольд выбрал неудачные обозначения. $\varphi\left(t\right)$ - кривая на карте $U$, в то же время $\varphi\left(q\right)$ - отображение карты в многообразие.

Книга несколько необычно оформлена типографски. Вместо полужирного прямого латинского шрифта использован полужирный курсив, так что читаемость понижена. И вместе с этим, аналогично использованы и греческие буквы светлого и полужирного прямого начертания. Если обратите внимание, в начале параграфа функция отображения карты в многообразие - светлая "фи" $\varphi(\boldsymbol{q}),$ а здесь кривая на карте - полужирная "фи" $\boldsymbol{\varphi}(t)$ (не могу отобразить точнее, потому что на форуме не установлены прямые греческие буквы). Подразумевается, что этого достаточно, чтобы понять, что это разные функции. Хотя читать неудобно.

cupuyc в сообщении #629844 писал(а):

2. Верно ли я понимаю, что касательное расслоение многообразия - это множество касательных пространств во всех точках многообразия?

Не просто множество. На нём заданы ещё дополнительные структуры: топология (близость точек) и связность (гладкость линий из точек, "локальная прямота", близость направлений в соседних точках).

[Dragon27]

cupuyc в сообщении #629844 писал(а):

Верно ли я понимаю, что касательное расслоение многообразия - это множество касательных пространств во всех точках многообразия?

Вроде бы это называется тотальным пространством расслоения (или расслоенным пространством), а расслоением называют отображение из этого пространства на базу. А обратное отображение называется сечением расслоения.

[cupuyc]

Спасибо за ответы.