Нецелое число [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте!

Пусть $S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}$, где $n>1$. Доказать, что $S$ - не целое.

Привожу к общему знаменателю, но ничего не выходит.

С уважением, Whitaker.

[DjD USB]

Рассмотрите наибольшую степень двойки...

[Sonic86]

связка
Там есть ответ (даже 2), но лучше подумайте сами. Не хочется намекать, вдруг Вы еще чего-то увидите. Попробуйте рассмотреть $S_{10},S_{20},S_{30}$, можно ли как-то быстро доказать, что они не целые?

[Whitaker]

Sonic86
как-то быстро доказать не получается
если я правильно понял, то здесь степень двойки играет здесь какую-то важную роль

[Евгений Машеров]

А взять наибольшее простое p, не превосходящее n?

[Whitaker]

Вроде какие-то мысли появились:
Пусть $S_n=\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}$ и $2^k\leqslant n <2^{k+1}$, тогда $S=\dfrac{a}{b}$, где $b=2^ks$ и $s$ - нечетное число.

[DjD USB]

Евгений Машеров в сообщении #630024 писал(а):

А взять наибольшее простое p, не превосходящее n?

А с двойками не легче?

-- Пт окт 12, 2012 21:23:05 --

Берем число k которое находится от 1 до n. Пусть $k=2^m$. И пусть к максимальная степень двойки и тогда если мы привидем к общему знаминателю учитывая нод, а не тупо перемножая все то в числителе будет нечетное число, а в знаминателе четное. Скажите почему это верно?

[Whitaker]

DjD USB в сообщении #630045 писал(а):

...учитывая нод ...

Может быть Вы хотели написать НОК?

[DjD USB]

Whitaker в сообщении #630057 писал(а):

DjD USB в сообщении #630045 писал(а):

...учитывая нод ...

Может быть Вы хотели написать НОК?

Да, извиняюсь, ошибся

[Cash]

Евгений Машеров в сообщении #630024 писал(а):

А взять наибольшее простое p, не превосходящее n?

Тогда придется привлечь постулат Бертрана, а это слишком тяжелая артиллерия для такой задачи

[Whitaker]

Вроде сделал как Вы сказали.
Пусть $2^k\leqslant n<2^{k+1}$
Тогда знаменателем нашей дроби будет $\text{lcm}(2, 3, \cdots, n)=b=2^ks$ и $s\notin 2\mathbb{Z}$
Теперь расписываем числитель нашей дроби.
Первый член будет четным (если $k>1$). второй будет четным и так далее, но $(2^k-1)$-й член будет нечетным, а именно $s$, а все последующие члены будут также будут четными. Получаем, что в числители стоит четное + нечетное = нечетное.
Получаем, что наша дробь несократима.
P.S. Решал через максимальное простое и там нужно действительно использовать постулат Бертрана о том, что на отрезке на отрезке $(n, 2n]$, где $n\geqslant 1$ всегда найдется простое число.