2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство с дробной частью
Сообщение10.10.2012, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Докажите, что для каждого натурального $n$ выполняется неравенсто $\{n\sqrt{2}\}>\frac{1}{2n\sqrt{2}}$. Можно ли его усилить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с дробной частью
Сообщение11.10.2012, 02:59 
Заслуженный участник


03/12/07
379
Україна
$$\{n\sqrt{2}\}>\frac{1}{2n\sqrt{2}+\frac{1}{2n\sqrt{2}}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с дробной частью
Сообщение11.10.2012, 07:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Это хуже требуемого, так как
Edward_Tur в сообщении #629396 писал(а):
$$\{n\sqrt{2}\}>\frac{1}{2n\sqrt{2}+\frac{1}{2n\sqrt{2}}}<\frac{1}{2n\sqrt 2}$$

Пусть $m=[n\sqrt 2], k=2n^2-m^2\ge 1$, тогда $$\{n\sqrt 2\}=\frac{2n^2-m^2}{2n\sqrt 2-\frac{2n^2-m^2}{n\sqrt 2+m}}>\frac{1}{2n\sqrt2-\frac{1}{2n\sqrt 2+\frac{1}{2n\sqrt 2}}}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с дробной частью
Сообщение11.10.2012, 23:54 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Руст в сообщении #629415 писал(а):
Пусть $m=[n\sqrt 2], k=2n^2-m^2\ge 1$,...

Один из моих учеников заметил, что из этого немедленно следует $\{n\sqrt 2\}\geq n\sqrt2-\sqrt{2n^2-1}$, что даёт более сильную оценку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с дробной частью
Сообщение12.10.2012, 03:09 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Я бы акцент сделал на равенстве
$$
\{n\sqrt{2}\}=\frac{k}{n\sqrt{2}+\sqrt{2n^2-k}}.
$$
Если мы теперь будем запрещать некоторые значения $n$, то неравенство можно усиливать скачкообразно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с дробной частью
Сообщение12.10.2012, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
Если можно "кроме конечного числа исключений", то теорема Гурвица-Бореля же, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с дробной частью
Сообщение12.10.2012, 20:09 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
ИСН в сообщении #629956 писал(а):
теорема Гурвица-Бореля же, нет?
Наверное, да (я почему-то постоянно забываю формулировку этой замечательной теоремы, так что Вам виднее). В данном случае я имел в виду бесконечное множество исключаемых значений $n$: это, например, те $n$, для которых существует $m$ такое, что $2n^2-m^2=1$. Если такие $n$ исключить, то получим оценку для $\{n\sqrt{2}\}$ в два раза лучшую по сравнению с первоначальной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group