Неравенство с дробной частью

[xmaister]

Докажите, что для каждого натурального $n$ выполняется неравенсто $\{n\sqrt{2}\}>\frac{1}{2n\sqrt{2}}$. Можно ли его усилить?

[Edward_Tur]

$$\{n\sqrt{2}\}>\frac{1}{2n\sqrt{2}+\frac{1}{2n\sqrt{2}}}$$

[Руст]

Это хуже требуемого, так как

Edward_Tur в сообщении #629396 писал(а):

$$\{n\sqrt{2}\}>\frac{1}{2n\sqrt{2}+\frac{1}{2n\sqrt{2}}}<\frac{1}{2n\sqrt 2}$$

Пусть $m=[n\sqrt 2], k=2n^2-m^2\ge 1$, тогда

$$\{n\sqrt 2\}=\frac{2n^2-m^2}{2n\sqrt 2-\frac{2n^2-m^2}{n\sqrt 2+m}}>\frac{1}{2n\sqrt2-\frac{1}{2n\sqrt 2+\frac{1}{2n\sqrt 2}}}.$$

[arqady]

Руст в сообщении #629415 писал(а):

Пусть $m=[n\sqrt 2], k=2n^2-m^2\ge 1$,...

Один из моих учеников заметил, что из этого немедленно следует $\{n\sqrt 2\}\geq n\sqrt2-\sqrt{2n^2-1}$, что даёт более сильную оценку.

[nnosipov]

Я бы акцент сделал на равенстве

$$ \{n\sqrt{2}\}=\frac{k}{n\sqrt{2}+\sqrt{2n^2-k}}. $$

Если мы теперь будем запрещать некоторые значения $n$, то неравенство можно усиливать скачкообразно.

[ИСН]

Если можно "кроме конечного числа исключений", то теорема Гурвица-Бореля же, нет?

[nnosipov]

ИСН в сообщении #629956 писал(а):

теорема Гурвица-Бореля же, нет?

Наверное, да (я почему-то постоянно забываю формулировку этой замечательной теоремы, так что Вам виднее). В данном случае я имел в виду бесконечное множество исключаемых значений $n$: это, например, те $n$, для которых существует $m$ такое, что $2n^2-m^2=1$. Если такие $n$ исключить, то получим оценку для $\{n\sqrt{2}\}$ в два раза лучшую по сравнению с первоначальной.