Усиление гипотезы Лежандра

[Побережный Александр]

Гипотеза Лежандра утверждает следующее: между квадратами натуральных чисел лежит хотя бы одно простое число.
То есть существует такое простое число $p$, что $n^2<p<(n+1)^2$.
Хочу предложить усиление гипотезы Лежандра, которое выглядит следующим образом:
Существует такое простое число $p$, что $n^2<p\leqslant{n(n+1)}<(n+1)^2$, где $n$ - натуральное число.

[bot]

А чего мелочиться, давайте ещё усилим:
... существует простое $p$, удовлетворяющее строгим неравенствам $n^2<p<n(n+1)$. И если ужо пошла такая пьянка, то чем второй промежуток хуже? Пусть между $n(n+1)$ и $(n+1)^2$ тоже есть простое число.

А если серьёзно, то тема подлежит закрытию или переносу в пургаторий - дискутировать здесь не о чем.

[Vitalius]

bot в сообщении #629773 писал(а):

А чего мелочиться, давайте ещё усилим:
... существует простое $p$, удовлетворяющее строгим неравенствам $n^2<p<n(n+1)$.

Если вот так "усилите", то для $n=1$ не будет существовать простое число в соответствующем интервале (да и вообще целое тоже) - ибо интервал будет $(1,2)$.

[bot]

Я ведь ровно так же как и ТС совершенно наобум брякнул и не проверял даже в пределах десятка. Но это не принципиально - добавим при достаточно больших $n$.
Я просто к тому, что нет никакого смысла усиливать гипотезы, которые ещё не доказаны. Вот если бы при доказательстве гипотезы было бы доказано более сильное утверждение - тогда совсем другое дело.
Остаюсь при прежнем мнении - закрыть или в пургу.

[Sonic86]

гипотеза Крамера - общеизвестное и далее неусиляемое усиление гипотезы Лежандра.

[Побережный Александр]

Sonic86 в сообщении #629808 писал(а):

гипотеза Крамера - общеизвестное и далее неусиляемое усиление гипотезы Лежандра.

А зачем выделяют гипотезу Лежандра, если она логически следует из гипотезы Крамера. По крайней мере мое утверждение следует при истинности гипотезы Крамера.

[Sonic86]

Побережный Александр в сообщении #629854 писал(а):

А зачем выделяют гипотезу Лежандра, если она логически следует из гипотезы Крамера. По крайней мере мое утверждение следует при истинности гипотезы Крамера.

Если я не вру, то это хороший вопрос Я плохо разбираюсь, но Крамер выводил свою гипотезу из вероятностной конструкции и из гипотезы Лежандра. Далее, из гипотезы Римана следует (вроде), что $p_{n+1}-p_n=O(n^{1/2+\epsilon})$. Так что, вероятно, гипотеза Лежандра - это какой-то критичный случай, м.б. она доказывается даже иначе. Пока доказано, что $p_{n+1}-p_n=O(n^{\frac{1}{2}+0,025})$.

Я бы сам, с удовольствием узнал, почему.
Есть еще гипотеза Андрики. Вот зачем ее выделяют, я точно не знаю

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #629855 писал(а):

Далее, из гипотезы Римана следует (вроде), что $p_{n+1}-p_n=O(n^{1/2+\epsilon})$. Так что, вероятно, гипотеза Лежандра - это какой-то критичный случай, м.б. она доказывается даже иначе. Пока доказано, что $p_{n+1}-p_n=O(n^{\frac{1}{2}+0,025})$.

Обозначим максимальное расстояние между последовательными простыми числами $P_n$ и $P_{n+1}$ – $G(Pn)$. В 1930 году Hoheisel первым показал, что существует такая постоянная υ<1, что $G(Pn)<(Pn)^{u+\epsilon}$ для достаточно больших Рn и малых ε. Он же указал, первое значение для υ=3/4 [1]. Последний результат получен в 1997 году Harman и Pintz – u=0,525 [2].
Литература
1. Hoheisel, G. "Primzahlprobleme in der Analysis". Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 33: 3–11,1930
2. Pintz, J. "Very large gaps between consecutive primes". J. Number Theory 63 (2): 286–301, 1997