Совпадают ли операции

[AlexDem]

$((a \times b) \odot c) \times \neg(c \odot (b \times a)) = (a \odot (b \times c)) \times \neg((c \times b) \odot a)$

$\neg$ -- унарная операция $\neg(a \times b) = b \times a$
$\times$ -- некоммутативная ассоциативная операция
$\odot$ -- некоммутативная операция (ассоциативность неизвестна)

Можно ли из уравнения сказать однозначно, что операции $\times$ и $\odot$ совпадают?

Upd: уточнил унарную операцию

[Mysterious Light]

Нет,
пусть $a,b,c\in\mathbb{R}$,
$a\times b$ — умножение чисел,
$\neg a$ — отрицание $a$,
$a\odot b \equiv 0$.
Тогда $(A\odot B)\times \neg (C\odot D)\equiv 0$, что слева, что справа.
Поэтому равенство выполняется, но функции не равны.

Если условие некоммутативности $a\times b$ существенно, то $\mathbb{R}$ следует заменить на множество всех матриц $n\times n$, а остальное оставить, как есть: умножение, почленное отрицание, онуление.

[AlexDem]

Mysterious Light в сообщении #628721 писал(а):

$a\odot b \equiv 0$.

Тогда $b \odot a = a \odot b \equiv 0$, что противоречит условию.

[AlexDem]

Upd: уточнил унарную операцию (поправил первое сообщение), так что она теперь не абстрактная.

[nnosipov]

AlexDem в сообщении #628569 писал(а):

$\neg$ -- унарная операция $\neg(a \times b) = b \times a$

Странная какая-то унарная операция --- зависит от двух аргументов $a$ и $b$. Унарная операция $\neg$ на каком-то множестве $X$ --- это отображение $\neg:X \to X$.

[AlexDem]

Так ведь $a \times b \in X$. Пример с числами: пусть $\neg x$ определена как произведение простых сомножителей, взятых с обратным знаком, так что результат будет либо $x$, либо $- x$, в зависимости от числа сомножителей. Тогда скольки-местная это операция?

[nnosipov]

AlexDem в сообщении #628751 писал(а):

Пример с числами: пусть $\neg x$ определена как произведение простых сомножителей, взятых с обратным знаком, так что результат будет либо $x$, либо $- x$, в зависимости от числа сомножителей. Тогда скольки-местная это операция?

А на каком множестве чисел Вы задаёте эту операцию? Если на $\mathbb{Z}$, то всё в порядке, это унарная операция. Чтобы Ваша формула $\neg(a \times b)=b \times a$ корректно задавала унарную операцию $\neg$ на множестве $X$, от бинарной операции $\times$ на том же множестве нужно кое-что потребовать, а о свойствах этой операции Вы ничего не сказали.

Возможно, Вы имели в виду следующее: унарная операция $\neg$ как-то задана на $X$ и при этом она связана с бинарной операцией $\times$ тождеством $\neg(a \times b)=b \times a$.

[AlexDem]

Потребовать, чтобы для любых $a \times b = x$ выполнялось $b \times a = y$? Это присутствует, хотя да, я не сказал об этом -- но тем больше места для манёвра

-- Вт окт 09, 2012 15:22:16 --

nnosipov в сообщении #628760 писал(а):

Возможно, Вы имели в виду следующее

Да, как-то так

[AlexDem]

Может быть $a \odot b = (a \times b) * const$? Тогда:

$$\begin{equation*}\begin{split} ((a \times b \times c) * const) \times \neg((c \times b \times a) * const) = \\ = ((a \times b \times c) * const) \times \neg((c \times b \times a) * const) \end{split}\end{equation*}$$

[AlexDem]

Да и вообще -- любая $f(a \times b) = a \odot b$ тогда, такая что $f(a \times b) \ne f(b \times a)$.