Преобразование координат

[Geckelberryfinn]

Совершенно забыл процедуру преобразования координат дифференциальных операторов. Не поможете перевести оператор
\frac{\partial}{\partial \rho}\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho\cdot v)}{\partial\rho}
в декартову прямоугольную систему координат
(для удобства - картинка)

[sadomovalex]

здесь осталось только продифференцировать по обычным правилам:
$\frac{\partial}{\partial\rho}\left[\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v(\rho,\varphi))\right]=-\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v(\rho,\varphi)) + \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2}{\partial\rho^2}(\rho v(\rho,\varphi))=-\frac{1}{\rho^2}\left(v(\rho,\varphi)+\rho\frac{\partial}{\partial\rho}v(\rho,\varphi)\right) + \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(v(\rho,\varphi)+\rho\frac{\partial}{\partial\rho}v(\rho,\varphi)\right) = -\frac{1}{\rho^2}v(\rho,\varphi) + \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial\rho}v(\rho,\varphi) + \rho\frac{\partial^2}{\partial\rho^2}v(\rho,\varphi)\right) = \frac{\partial^2}{\partial\rho^2}v(\rho,\varphi) + \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}v(\rho,\varphi) - \frac{1}{\rho^2}v(\rho,\varphi)$

[Geckelberryfinn]

Так, ведь это все равно в полярной. А мне бы хотелось записать его в прямоугольной декартовой,т.е. т.к.
\rho=\rho(x,y)
то хотелось бы перейти в систему (x,y)

[RIP]

$$\frac\partial{\partial\rho}=\frac{\partial x}{\partial\rho}\cdot\frac\partial{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial\rho}\cdot\frac\partial{\partial y}=\ldots$$

[sadomovalex]

и не забыть правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных:
$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}v\left(\rho(x,y),\varphi(x,y)\right) = \displaystyle\frac{\partial v(\rho,\varphi)}{\partial\rho}\displaystyle\frac{\partial\rho(x,y)}{\partial x} + \displaystyle\frac{\partial v(\rho,\varphi)}{\partial\varphi}\displaystyle\frac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}$

[RIP]

sadomovalex писал(а):

и не забыть правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных:
$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}v\left(\rho(x,y),\varphi(x,y)\right) = \displaystyle\frac{\partial v(\rho,\varphi)}{\partial\rho}\displaystyle\frac{\partial\rho(x,y)}{\partial x} + \displaystyle\frac{\partial v(\rho,\varphi)}{\partial\varphi}\displaystyle\frac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}$

Ну так я как раз и написал правило дифференцирования сложной функции, которое нам нужно. Ваша формула пригодились бы, если бы мы наоборот переходили от декартовых координат к полярным (т.е. частную производную по $x$ меняли на частные производные по $\rho$ и $\varphi$)

[sadomovalex]

RIP
это так, но применяя Вашу формулу к результату, приведенному мной (мне кажется, что переходить к декартовым координатам проще, раскрыв производную в первом посте), мы столкнемся с вычислением $\frac{\partial}{\partial x}v(\rho(x,y),\varphi(x,y))$ и $\frac{\partial}{\partial y}v(\rho(x,y),\varphi(x,y))$

[RIP]

sadomovalex писал(а):

RIP
это так, но применяя Вашу формулу к результату, приведенному мной (мне кажется, что переходить к декартовым координатам проще, раскрыв производную в первом посте), мы столкнемся с вычислением $\frac{\partial}{\partial x}v(\rho(x,y),\varphi(x,y))$ и $\frac{\partial}{\partial y}v(\rho(x,y),\varphi(x,y))$

Их не надо вычислять. Смысл как раз и состоит в том, чтобы получить выражение с этими производными. А если Вы примените свою формулу, то после всех преобразований вернётесь к тому, с чего начинали.

[Geckelberryfinn]

Спасибо. Что-то как то ступил. Может пригодится кому (знак равенства условно, разумеется).