Ряд распределения

[Limit79]

1) Вероятность попадания торпеды в корабль равна $\frac{1}{3}$. Сколько должно быть выпущено торпед, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была больше 0.8?

2) Торпедоносец из задачи 1 имеет в запасе четыре торпеды и стреляет до первого попадания. Случайная величина $X$ - число затраченных торпед. Построить ряд распределения случайной величины $X$.

С первой задачей разобрался, используя формулу Бернулли:
$P\left \{ k\geqslant 1 \right \} = 1 - q^n = 1 - (1-p)^n> 0.8$
$n>\frac{\ln(1-0.8)}{\ln(1-0.2))} \approx 3.973$
То есть:
$n\geqslant4$.

Насчет второй задачи:
$X$ - принимает значения $1, 2, 3, 4$.
$P_1=p=\frac{1}{3}$
$P_2=q\cdot p =\frac{2}{9}$
$P_3=q^2\cdot p =\frac{4}{27}$

А как найти $P_4$? Если находить по вышенаписанному алгоритму, то $P_4=\frac{8}{81}$, но тогда $P_1+P_2+P_3+P_4 = \frac{65}{81}$, но $P_1+P_2+P_3+P_4$ должно же быть равно $1$.

Подскажите, пожалуйста.

[ИСН]

Limit79 в сообщении #629073 писал(а):

$P1+P2+P3+P4$ должно же быть равно $1$

Почему? Кто сказал? Адмирал? "Надо попасть"? Вы учитываете каким-нибудь образом, что можно все 4 раза промахнуться?

-- Ср, 2012-10-10, 16:18 --

...и тем самым, кстати, провалить условие задачи. Первого попадания нет, надо стрелять дальше, а нечем. И мир рухнет с ошибкой 500.

[Limit79]

ИСН
Ну обычно же в рядах распределения считают, что сумма вероятностей равна 1.

Действительно, не посчитал этот вариант, если учитывать его, то получается единица, но как этот вариант нам учитывать в ряде распределения?

[Александрович]

Limit79 в сообщении #629073 писал(а):

С первой задачей разобрался, используя формулу Бернулли:
$P\left \{ k\geqslant 1 \right \} = 1 - q^n = 1 - (1-p)^n> 0.8$
$n>\frac{\ln(1-0.8)}{\ln(1-0.2))} \approx 3.973$
То есть:
$n\geqslant4$.

$p=1/3.$

[Limit79]

Александрович
Ой да, опечатка вышла. Но ход же решения правильный?

[ИСН]

Limit79 в сообщении #629079 писал(а):

как этот вариант нам учитывать в ряде распределения?

Чему будет равна случайная величина (чьё распределение), если случится этот вариант?

[Limit79]

ИСН
Вот этого и не могу понять.

$X$ - число затраченных торпед, при одном попадании.

В задаче же распределение для "при одном попадании", а тут будет случай "при 0 попаданий", поэтому не понимаю, как его учитывать.

-- 10.10.2012, 16:34 --

Или же, при $0$ попаданий, количество затраченных торпед будет $0$?

-- 10.10.2012, 16:54 --

Вот нашел вроде аналогичную задачу:

(Оффтоп)

Там рассматривают значения случайной величины от $1$ и до $k$.

То есть у меня должно быть $1,2,3,4$, но при этом сумма вероятностей не получается равной $1$.

[ИСН]

Ещё раз, помедленнее: распределение какой величины мы ищем?

[Limit79]

ИСН
Величины числа затраченных торпед.

-- 10.10.2012, 17:03 --

И то есть тогда случайная величина $X$ также может принимать значение $0$, а вероятность при этом будет равна $q_1\cdot q_2\cdot q_3\cdot q_4$?

[ИСН]

Что значит "затраченных"?

[Limit79]

ИСН
Использованных до первого попадания.

[ИСН]

Может ли быть, что мы выпустили 0 торпед, а первое попадание уже произошло?

[Limit79]

ИСН
Разумеется, нет.

-- 10.10.2012, 17:19 --

То есть мои рассуждения насчет $0$ неправильные, но к какому случаю тогда отнести вероятность $q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot q_4$? Или как поступить?

[ИСН]

Так. Теперь возвращаемся к вопросу:

ИСН в сообщении #629082 писал(а):

Чему будет равна случайная величина (чьё распределение), если случится этот вариант?

(надо ли напоминать, какой такой "этот"?)

-- Ср, 2012-10-10, 17:19 --

да-да, вот этот самый "этот". Так чему?

[Limit79]

$X$ - число использованных торпед до первого попадания.

Если ни разу не попасть, то $p=q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot q_4$

У нас условие на $X$, что попадание было. А в случае $p=q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot q_4$ - попадания не было, поэтому не могу понять, чему будет равна $X$.