Площадь сферы как предел площадей описанных многогранников

[мат-ламер]

В школьном учебнике геометрии Атанасяна площадь сферы определяется через предел площадей описанных около сферы многогранников (при условии, что размер грани стремится к нулю). Доказательство мне показалось неполным. Мне не ясно, а как построить эту последовательность многогранников в явном виде? Допустим расставим на сфере равномерно точки вдоль меридианов и параллелей через какой-нибудь фиксированный угол. В этих точках построим касательные плоскости и соответствующие им полупространства, содержащие сферу. Теперь рассмотрим пересечение этих полупространств, которое будет многогранником. И сфера будет касаться этого многогранника в точках, которые мы в начале расставили. Но тут у меня возникли сомнения. А не появяться ли в этом многограннике грани, которые не касаются сферы (это важно в доказательстве)? Вообщем, возникли два вопроса. Первый. Есть ли ясный конструктивный способ построения описанного многранника? Проверял ли кто-нибудь этот способ на компьютере и куда на компьютере при этом сходилась площадь сферы?

[_Ivana]

Да, забавно
Разобьем сферу по равномерной сетке меридианов и экватору. Получается много одинаковых треугольников на сфере. Площадь каждого их них, если развернуть на плоскость, равна $s_i = ah/2$, где $a$ - длина сегмента сетки по экватору, а высота $h$ - четверть длины окружности $h = 2 \pi R/4 = \pi R/2$, площадь всего сегмента меридиана (это два таких треугольника) получается равна $S_i = a \pi R/2$, суммируем площади по полному углу экватора - получаем площадь сферы $S = 2 \pi R \pi R/2 = \pi^2R^2$

[nnosipov]

_Ivana в сообщении #628872 писал(а):

Площадь каждого их них, если развернуть на плоскость, ...

Увы, развернуть не удастся --- Гаусс запрещает.

[VAL]

мат-ламер в сообщении #628855 писал(а):

В школьном учебнике геометрии Атанасяна площадь сферы определяется через предел площадей описанных около сферы многогранников (при условии, что размер грани стремится к нулю).

А точную ссылку можно. Как-то странно это!

Возьмем две точки на продолжении полярной оси. Например, на расстоянии R от полюсов.
Проведем всемозможные касательные из этих точек. Получим биконус, описанный около данной сферы. Ясно, что площадь поверхности биконуса ($\frac{16}3 \pi R^2$) будет пределом площадей бипирамид, описанных около конуса. Но каждая такая бипирамида описана и около сферы. А с увеличением числа граней их площади стремятся к нулю.

Ясно, что подобным способом можно получить и много других "площадей поверхности сферы".

[nnosipov]

VAL в сообщении #628998 писал(а):

А с увеличение числа граней их площади стремятся к нулю.

Там сказано размер (видимо, имеется в виду диаметр) граней стремится к нулю, а не только площадь.

[Sonic86]

мат-ламер в сообщении #628855 писал(а):

А не появяться ли в этом многограннике грани, которые не касаются сферы (это важно в доказательстве)?

Не появятся. Каждая плоскость $\alpha$ по построению касается сферы. Другие плоскости просто отрезают от $\alpha$ все куски.
Ну или давайте по индукции: возьмем начальную конфигурацию плоскостей, которая образует многогранник вокруг сферы (это требование необходимо, иначе можно сферу обвернуть цилиндром многоугольника). Будем добавлять по одной грани. Грань добавляется как касательная к точке сферы. Ясно, что точка сферы лежит внутри многогранника, потому новая плоскость пройдет внутри сферы. Существующие плоскости отсекут от нее ненужные куски. Получаем новую конфигурацию. Новые грани, не касающиеся сферы не появляются.

[VAL]

nnosipov в сообщении #629020 писал(а):

VAL в сообщении #628998 писал(а):

А с увеличением числа граней их площади стремятся к нулю.

Там сказано размер (видимо, имеется в виду диаметр) граней стремится к нулю, а не только площадь.

Понятно.
Хотя, все равно, не слишком. Насколько я понимаю, уточнение в скобках Ваше, а в учебнике, что такое "размер грани" не уточняется.

[TOTAL]

мат-ламер в сообщении #628855 писал(а):

А не появяться ли в этом многограннике грани, которые не касаются сферы (это важно в доказательстве)?

Не появятся. На экваторе равномерно расставляем N точек. Через каждую из них проводим меридиан. Каждый меридиан делим на N равных частей (экватор задает точку деления). Через серидину каждой части проводим касательную плоскость.

[мат-ламер]

Спасибо за ответы. Насчёт равномерного разбиения по меридианам и параллелям возник вопрос. Если мы по меридианам будем разбивать с одним шагом, а по параллелям с другой, то не повлияет ли это на правильность определения площади? (Тут я вспомнил про сапог с какой-то итальянской фамилией, но фамилию забыл. Может кто фамилию напомнит, но это скорее всего тут не по делу). Насчёт индуктивного подхода. Я тоже об этом подумал. Но тут наверное надо доказывать, что размер граней неограничено уменьшается.

VAL в сообщении #628998 писал(а):

А точную ссылку можно. Как-то странно это!

Можно набрать в поисковике libgen.info - "Атанасян геометрия ". Насчёт странности я не знаю, но мне кажется, что можно дать определение попроще. Всё равно перед этим рассматривается объём шара. Так можно площадь сферы определить как производную от объёма шара по радиусу.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #629208 писал(а):

(Тут я вспомнил про сапог с какой-то итальянской фамилией, но фамилию забыл. Может кто фамилию напомнит, но это скорее всего тут не по делу).

Сапог Шварца. Фамилия ну очень итальянская :-)

-- 10.10.2012 23:14:25 --

мат-ламер в сообщении #629208 писал(а):

Если мы по меридианам будем разбивать с одним шагом, а по параллелям с другой, то не повлияет ли это на правильность определения площади?

Можно вообще нерегулярно точки по сфере рассыпать, главное, чтобы расстояния между ними стремились к нулю как-то "равномерно" (скажем, длины рёбер триангуляции Делоне должны стремиться к нулю, что то же самое, диаметры клеток диаграммы Вороного).

мат-ламер в сообщении #629208 писал(а):

Насчёт странности я не знаю, но мне кажется, что можно дать определение попроще.

Здесь на днях apriv упоминал книжку Шень «О “математической строгости” и школьном курсе математики», посмотрите, там как раз упомянуты нюансы введения площади поверхности и проблемы школьных учебников в этом плане.