если среди членов ряда есть такие, что в знаменателе присутствуют простые множители, то и произведение знаменателей (то есть приведение к общему) содержит простой сомножитель, что в свою очередь влечет "дробность" получаемого числа.
Ну, эдак можно доказать, что вообще никакая сумма дробей не может быть целым числом, что абсурдно. Дело в том, что когда Вы складываете несколько дробей, в знаменателях которых присутствует один и тот же простой сомножитель

, знаменатель итоговой дроби может вообще не содержать этого

. Пример:

для

.
А по поводу замечания о простых вида

- этих простых сомножителей в знаменателе будет гораздо больше, так сказать, "в удельном весе" на количество членов ряда...
Всё это очень неконкретно.
Попробуйте сначала рассмотреть самый простой частный случай этой задачи: докажите, что сумма

никогда не будет целым числом.