Утверждается, что всякая

-подгруппа группы

содержится в некоторой силовской

-подгруппе. Доказательство приведено следующее:
Пусть

- множество всех силовских

- подгрупп. Подействуем на

сопряжениями. Положим, что

. Тогда очевидно, что

, значит

. Значит

, откуда следует, что порядок орбиты взаимно прост с

. Теперь рассматривается

- подгруппа

группы

. Т.е. задано действие

на

и хотя бы одна из

орбит содержит только один элемент

, откуда следует, что

содержится в нормализаторе

, значит

. Т.к. порядок

есть степень

, то в силу того, что

мы имеем, что порядок

- степень

, откуда порядок

тоже степень

, но тогда

, значит

.
Я понимаю, что это доказательство работает, но мне совершенно не понятно, как к этому прийти. Не ясна суть. Было сказано, что это доказательство- есть применение техники, связанной с формулой классов, но формулой классов тут и не пахнет.