Тензор. Символы Кристоффеля.

[Booben]

Доброго времени! Помогите пожалуйста.

Записать выражение компонент ассоциированного метрического тензора и символов Кристофеля первого и второго рода на поверхности при ортогональной системе координат. Полученные выражения записать используя фиксированные индексы.

Появились проблемы с тензорным исчислением. Всё, что я знаю по задаче:
1. Символ Кристоффеля первого рода:
$\Gamma^k_{ij} = \frac 1 2 (\frac {\partial g_{jk}} {\partial x^i}+\frac {\partial g_{ik}} {\partial x^j}-\frac {\partial g_{ij}} {\partial x^k})$.
2. Второго рода тоже знаю, пока писать не буду - хоть с первым разобраться
3. Метрический тензор:
$g_{ij} = e_ie_j$.
4. Скалярное произведение базисных векторов при ортогональной СК равно 0.

А вот дальше затрудняюсь.
Учитель задал следующие вопросы:
1. Что такое ортогональные координаты? Я предположил, что скалярное произведение базисных векторов должно быть равно нулю, на что он мне ответил, как вы вводите базис, не введя векторного пространства. В общем, я ещё больше запутался.
2. Что такое вектор на поверхности? (дословно) Я предположил, что он имеет ввиду векторы касательной, нормали, бинормали к поверхности. В общем, по его реакции, я понял, что не то сказал.

Помогите пожалуйста. Не могу разобраться, с чего начать. По подсказкам учителя - нужно определить векторное пространство, задать дополнительные условия и потом вычислять символы Кристоффеля.
Про ассоциированный метрический тензор тоже, к сожалению, ничего сказать не могу.

Заранее огромное спасибо!

[alcoholist]

Booben в сообщении #625029 писал(а):

Записать выражение компонент ассоциированного метрического тензора и символов Кристофеля первого и второго рода на поверхности при ортогональной системе координат. Полученные выражения записать используя фиксированные индексы.

Это означает, что у Вас имеется параметризованная поверхность $r(u,v)$, причем $(r_u,r_v)=0$.
Матрица метрического тензора диагональна $\operatorname{diag}\{r_u^2,r_v^2\}$.

$$ \Gamma_{uv}^u=\frac{1}{2}(r_u^2)_u=(r_u,r_{uu}) $$

и так далее

Booben в сообщении #625029 писал(а):

как вы вводите базис, не введя векторного пространства

непонятный вопрос... поверхность же уже задана

Booben в сообщении #625029 писал(а):

Что такое вектор на поверхности? (дословно) Я предположил, что он имеет ввиду векторы касательной, нормали, бинормали к поверхности

вектора живут не на поверхности

с любой точкой параметризованной поверхности $r(u,v)$ мы связываем базис объемлющего пространства $r_u$, $r_v$, $n=\frac{r_u\times r_v}{\|r_u\times r_v\|}$

первые два вектора образуют базис касательного пространства к поверхности, третий -- вектор нормали

никакой "бинормали" к поверхности нет

[Booben]

Цитата:

$(r_u,r_v)=0$.

В данном контексте имеется ввиду
$\frac {\partial r} {\partial u} \frac {\partial r} {\partial v}=0$?

А метрический тензор - произведение двух тензоров (1,0)
$g_{uv} = \operatorname{diag} \{ r_u^2, r_v^2 \}$
Так?
Заранее извиняюсь - просто с тензорами у меня проблема, приходится изучать самостоятельно. Пропустил учебный курс из-за работы.

[alcoholist]

Booben в сообщении #625080 писал(а):

В данном контексте имеется ввиду
$\frac {\partial r} {\partial u} \frac {\partial r} {\partial v}=0$?
или скалярное произведение?

там же скобочки))) Конечно, скалярное произведение

Booben в сообщении #625080 писал(а):

$r_u = r'; r_v = r''$

что за штрих-то?
Ок, если Вам ближе числовые индексы, то

Параметризованная поверхность $r:U\to\mathbb{R}^3$, $U$ -- область в $\mathbb{R}^2$ с координатами $x_1,x_2$.

Условие ортогональности координат

$$ \left(\frac{\partial r}{\partial x_1},\frac{\partial r}{\partial x_2}\right)=0 $$

Компоненты метрического тензора в этих координатах

$$g_{11}=\left(\frac{\partial r}{\partial x_1}\right)^2,\quad g_{12}=g_{21}=0,\quad g_{22}=\left(\frac{\partial r}{\partial x_2}\right)^2$$

Дальше вычисляйте свои символы Кристоффеля

[Booben]

Спасибо огромное, символы я вычислю, а ассоциированный метрический тензор?
Это и есть только что вычисленная матрица?
Чем отличается определение метрического тензора от ассоциированного метрического тензора? Или метрический тензор всегда ассоциирован с поверхностью?
Как мне сказать определение преподавателю?
У меня нет базы просто :)

[alcoholist]

Booben в сообщении #625091 писал(а):

Чем отличается определение метрического тензора от ассоциированного метрического тензора

думаю, это вопрос терминологии сам тензор "ассоциирован" (связан, строится по) с данной параметризованной поверхностью

"ассоциированный" в данном случае не термин, а просто слово русского языка

Booben в сообщении #625091 писал(а):

Как мне сказать определение преподавателю?

прочитайте в книжке

[Booben]

Всё понял мне только это и нужно было узнать, что нет отдельного определения. Определение метрического тензора у меня есть :) Огромное спасибо, вечером, после работы возьмусь за символы Кристоффеля и посоветуюсь ещё на счет фиксированных индексов.

[Booben]

Символы Кристоффеля первого рода я вычислил. Не равны нулю только
$\Gamma_{1,11} =\frac {\partial^2 r} {\partial x_1^2} \frac {\partial r} {\partial x_1} $
и
$\Gamma_{2,22} =\frac {\partial^2 r} {\partial x_2^2} \frac {\partial r} {\partial x_2} $
Это правильно?

-- 02.10.2012, 15:01 --

И вопрос: как мне вычислить контравариантный метрический тензор, если определитель метрического тензора равен нулю?
Или я что-то не так понимаю?
$\Gamma^k_{ij} = g^{kl}\Gamma_{l,ij}$
ведь
$g^{ij}$ - обратная матрица от $g_{ij}$

[alcoholist]

Booben в сообщении #626017 писал(а):

если определитель метрического тензора равен нулю?

не может быть

[Booben]

я уже понял ))
компоненты метрического тензора - скаляры, а я начал связывать с нашим начальным условием, что скалярное произведение равно нулю.

-- 04.10.2012, 13:22 --

в общем контравариантное представление метрического тензора:
$g^{11}= {\frac {1} {\frac {\partial r} {\partial x_1}}} $

$g^{22}= {\frac {1} {\frac {\partial r} {\partial x_2}}} $
символы Кристоффеля второго рода все нулевые, кроме

$\Gamma_{11}^1 = \frac {\frac {\partial^2 r} {\partial x_1^2}} {\frac {\partial r} {\partial x_1}} $

$\Gamma_{22}^2 = \frac {\frac {\partial^2 r} {\partial x_2^2}} {\frac {\partial r} {\partial x_2}} $

Скажите пожалуйста, это правильно?
И

[Booben]

По фиксированным индексам, подскажите пожалуйста, как правильно записать?

[Booben]

Прошу прощения ошибся с символами первого рода. С чего то решил что производная по x1 от производной по x2 равна нулю ))
Полное решение:
Символы Кристоффеля первого рода:
$\Gamma_{1,11} = \frac {\partial^2 r} {\partial x_1^2} \frac {\partial r} {\partial x_1} $

$\Gamma_{2,22} = \frac {\partial^2 r} {\partial x_2^2} \frac {\partial r} {\partial x_2} $

$\Gamma_{1,12} = \Gamma_{1,21} = -\Gamma_{2,11} = \frac 1 2 \frac {\partial^2 r} {\partial x_1 \partial x_2} \frac {\partial r} {\partial x_1} $

$\Gamma_{2,12} = \Gamma_{2,21} = -\Gamma_{1,22} = \frac 1 2 \frac {\partial^2 r} {\partial x_1 \partial x_2} \frac {\partial r} {\partial x_2} $
Помогите пожалуйста записать данные выражения, используя фиксированные индексы.
Заранее, спасибо.

[Booben]

Ошибся в посте.
Символы Кристоффеля первого рода:
$\Gamma_{1,11} = \frac {\partial^2 r} {\partial x_1^2} \frac {\partial r} {\partial x_1} $

$\Gamma_{2,22} = \frac {\partial^2 r} {\partial x_2^2} \frac {\partial r} {\partial x_2} $

$\Gamma_{1,12} = \Gamma_{1,21} = -\Gamma_{2,11} = \frac {\partial^2 r} {\partial x_1 \partial x_2} \frac {\partial r} {\partial x_1} $

$\Gamma_{2,12} = \Gamma_{2,21} = -\Gamma_{1,22} = \frac {\partial^2 r} {\partial x_1 \partial x_2} \frac {\partial r} {\partial x_2} $
Итак, первого рода символы я вычислил. Теперь нужны второго. Для этого я вычислил контравариантное представление метрического тензора:
$g^{11}=\frac {1} {(\frac {\partial r} {\partial x_1})^2}$
$g^{22}=\frac {1} {(\frac {\partial r} {\partial x_2})^2}$
$g^{12}=g^{21}=0$
В общем, вычисляю по формуле:
$\Gamma^k_{ij}=g^{kl}\Gamma_{l,ij}$
Получаю один результат, а в Мак-коннелле на странице 232 формулируется следующая задача:
Показать, что для <такой-то поверхности> символы Кристоффеля имеют вид:
$\Gamma^1_{11}=k f_1 f_{11}$ - перечислены все символы
И пояснение:
где

$f_\alpha=\frac {\partial f} {\partial u_\alpha}$

$f_{\alpha \beta}=\frac {\partial^2 f} {\partial u_\alpha \partial u_\beta}$

$k = \frac {1} {1+(\frac {\partial f} {\partial u_1})^2 + (\frac {\partial f} {\partial u_2})^2}$
откуда вообще этот коэффициент k взялся?!
Что я не так делаю. Помогите, пожалуйста, уважаемые форумчане.

[g______d]

Booben в сообщении #625029 писал(а):

3. Метрический тензор:
$g_{ij} = e_ie_j$.

Такого не бывает. Метрический тензор должен быть невырожден, а матрица указанного вида имеет ранг 1.

[TOTAL]

g______d в сообщении #629902 писал(а):

а матрица указанного вида имеет ранг 1.

Почему имеет ранг 1?