Подгруппа абелевой группы

[xmaister]

Пусть $G$- абелева группа порядка $m$. Если $p|m$, $p$- простое, то существует подгруппа $H\subset G$ порядка $p$. Сначала доказывается что если $x^n=e$ для всякого $x\in G$ то $\sharp G$ делит некоторую степень $n$ откуда следует существование $x\in G$, порядок которого делится на $p$. Можно ли как-то иначе это утверждение доказывать?

[Sonic86]

Немного на теорему Силова похоже. Есть доказательство более общее (не используется абелевость, и вместо простого числа его степень) в Каргаполове Мерзлякове Теория групп (есть другое в Винберге).
Если хотим абелевость использовать, можно использовать теорему о структуре абелевой группы, наверное.

(Оффтоп)

Лучше я уже не скажу - не знаю.

[xmaister]

Sonic86 в сообщении #627872 писал(а):

Немного на теорему Силова похоже.

Ну да, это утверждение нужно для доказательств теоремы Силова, чтобы найти в центре группы подгруппу простого порядка.

Sonic86 в сообщении #627872 писал(а):

Есть доказательство более общее (не используется абелевость, и вместо простого числа его степень) в Каргаполове Мерзлякове Теория групп

Т.е для всякой конечной группы $G$ и всякого простого $p$ делящего порядок $G$ существует подгруппа порядка $p^n$, если $p^n|\sharp G$?

[AV_77]

По индукции можно. Пусть $a \in G$. Если порядок $a$ делится на $p$, то в качестве $x$ берем подходящую степень $a$. Если не делится, то в факторгруппе $G / \langle a \rangle$ существует элемент, порядок которого делится на $p$ (по предположению индукции). Тогда порядок его прообраза также будет делиться на $p$.

[xmaister]

Спасибо. Т.е. доказано, что во всякой группе есть подгруппа, порядок которой делится на $p$. А во всякой ли есть подгруппа порядка $p$?

[AV_77]

Не очень понятен вопрос. Если есть циклическая подгруппа, порядок которой делится на $p$, то существует и подгруппа порядка точно $p$.

[xmaister]

В $G/\langle a\rangle$ существует элемент, порядок которого делится на $p$. С чего бы полному прообразу подгрупы в $G/\langle a\rangle$, порожденной этим элементом быть циклической?

[AV_77]

А зачем нам полный прообраз? Любой элемент из прообраза будет порождать подгруппу, порядок которой кратен $p$.

[xmaister]

Не понял. $a$- элемент из прообраза. Но по предположению его порядок не делится на $p$ .

[AV_77]

$a$ - элемент из прообраза нуля. А нам нужен прообраз элемента, который в факторгруппе имеет порядок $p$.

[xmaister]

Ну т.е. взяли элемент $b\langle a\rangle$ из $G/\langle a\rangle$ порядка $ps$. Тогда и $b$ имеет порядок $ps$, так? Вообще прочитал теоремы Силова и получается, что т.к. силовские подгруппы существуют и каждая имеет нетривиальный центр то в любом случае существует подгруппа в центре простого порядка...

[AV_77]

xmaister в сообщении #628608 писал(а):

Ну т.е. взяли элемент $b\langle a\rangle$ из $G/\langle a\rangle$ порядка $ps$. Тогда и $b$ имеет порядок $ps$, так?

Кратный $ps$, да.

[xmaister]

Не понял, почему кратен? Ведь $(b\langle a\rangle)^{\mathrm{ord}(b)}=\langle a\rangle$, значит $ps|\mathrm{ord}(b)$.

[xmaister]

Подождите. Ведь такое рассуждение пригодно только для абелевых групп. Мы же не знаем, что $\langle a\rangle$ нормальна в $G$, поэтому переход к факторгруппе не обоснован...

[AV_77]

xmaister в сообщении #628675 писал(а):

Подождите. Ведь такое рассуждение пригодно только для абелевых групп.

xmaister в сообщении #627801 писал(а):

Пусть $G$ - абелева группа порядка $m$.