Уравнение шестой степени. Найти восемь целых чисел.

[Vvp_57]

Обозначим корни уравнения:

$x^6+x^5+\frac{5}{2}x^4+2x^3+\frac{13}{4}x^2+\frac{9}{4}x+\frac{17}{8}=0$

$f_{1}=.549136..+1.052653..\cdot i$
$f_{2}=-.3065276..+1.15610..\cdot i$
$f_{3}=-.7426088..-.708753..\cdot i$
$f_{4}=-.7426088..+.708753..\cdot i$
$f_{5}=-.3065276..-1.15610..\cdot i$
$f_{6}=.549136..-1.052653..\cdot i$

Найдем значения сумм и произведений сопряженных пар корней:

$a_{1}=f_{1}+f_{6}=1.0982729..$
$a_{2}=f_{2}+f_{5}=-0.613055..$
$a_{3}=f_{3}+f_{4}=-1.4852176..$
$b_{1}=f_{1}\cdot f_{6}=1.409629..$
$b_{2}=f_{2}\cdot f_{5}=1.430527..$
$b_{3}=f_{3}\cdot f_{4}=1.053799..$

Составим два кубических уравнения:
для сумм:

$x^3+x^2+v\cdot x-1=0$

где $v=-1.39395578..$

и для произведений:

$x^3-\left(\frac{5}{2}-v \right)x^2+\left(\frac{1}{2}v^2-2v+\frac{5}{4} \right)x-\frac{17}{8}=0$

Оказывается, что параметр $v$, есть корень биквадратного уравнения вида:

$x^4-2\left(u^2+au+b \right)x^2+\frac{1}{2}\left(cu^2+du+f \right)=0$

Где $a, b, c, d, f$ целые числа. А параметр $u$ есть вещественный корень кубического уравнения тоже с целыми коэффициентами $p, q, r$:

$x^3+px^2+qx+r=0$

Найдите эти целые числа.

[maxal]

Обозначим

$$f(x) = x^6+x^5+\frac{5}{2}x^4+2x^3+\frac{13}{4}x^2+\frac{9}{4}x+\frac{17}{8}.$$

Пусть его корни имеют вид $a\pm ib$. Вычислив результант $f(a+ib)$ и $f(a-ib)$ относительно $b$ и факторизовав его, получим, что $2a$ является корнем уравнения:

$$x^9 + 3x^8 + 8x^7 + 8x^6 + 3x^5 - 9x^4 - 25x^3 - x^2 + 5x - 1.$$

Если оно же является корнем уравнения:

$$x^3+x^2+v\cdot x-1=0,$$

то их результант относительно $x$ обязан быть нулем, то есть:

$$(18+4v - 5v^2+v^3)^3 = 0.$$

Поэтому $v$ является корнем кубического уравнения:

$$18+4x - 5x^2+x^3 = 0$$

и смысла в рассмотрении $u$ я не вижу.

[Vvp_57]

maxal

Спасибо за ответ! Вы опять сразили меня.

(Чуть-чуть в свое оправдание.)

Не подумайте, что я как бы специально усложнил
условия задачи. Вовсе нет. Дело в том что найденное
мной решение произошло без участия результанта.
Нет, я ничего не имею против, только за!
Просто второй корень биквадратного уравнения,
тоже отрицательный, приводит ко второму уравнению
шестой степени. Которое имеет почти такой же
дискриминант. Если у заданного дискриминант ${\left(351i\right)}^{2}$,
то у его родного брата ${\left(104i\right)}^{2}$.