Диффуры

[integral2009]

Полосин в сообщении #627831 писал(а):

Вы сделали замену? Продифференцировали? Что получилось? Что не вышло?

$(xy'+y)^2=x^2y'$

$xy'+y=(xy)'$, $z=xy$

$z'^2=x^2\cdot\dfrac{z'x-z}{x^2}$

$z'^2=z'x-z$

$z'^2-z'x+z=0$

$z'=\dfrac{x\pm\sqrt{x^2-4z}}{2}$

А дальше - не знаю, что делать с $\pm$ и как разделять переменные

[Someone]

integral2009 в сообщении #627828 писал(а):

Переменные, конечно, разделяются, но нам брать плюс или минус?

Оба. Просто первоначальное уравнение распадается на два отдельных уравнения.

Попробуйте также способ, который предлагает Полосин. Он забавный. Но, в принципе, может давать уравнение, имеющее лишние решения.

integral2009 в сообщении #627832 писал(а):

$z'^2-z'x+z=0$

Это нужно продифференцировать, а не решать как квадратное.

[integral2009]

Someone в сообщении #627824 писал(а):

По аналогии с уравнением $y'=f(ax+by+c)$. В нём при $a\neq 0$, $b\neq 0$ рекомендуется подстановка $z=ax+by+c$. Причём, $c$, конечно, можно и не прибавлять.

Спасибо, классная у вас аналогия Что-то у меня пока что мозг совсем не прокачан для таких аналогий

-- Вс окт 07, 2012 02:36:05 --

Someone в сообщении #627834 писал(а):

Это нужно продифференцировать, а не решать как квадратное.

А почему сразу нельзя?

$z'^2-z'x+z=0$

$2z'z''-z'-z''x+z'=0$

$2z'z''-z''x=0$

$(2z'-x)z''=0$

Кстати, так ведь лучше.

1) $z=C_1x+C_2=xy$

2) $z=x^2+C_3=xy$

-- Вс окт 07, 2012 02:41:31 --

Someone в сообщении #627834 писал(а):

Попробуйте также способ, который предлагает Полосин. Он забавный. Но, в принципе, может давать уравнение, имеющее лишние решения.

$x+yy'=y^2(1+y'^2)$

$x+yy'=y^2+(yy')^2)$

$z=yy'=0,5(y^2)'$

$x+z=2\displaystyle\int z(y(x))dx+z^2$

[Someone]

integral2009 в сообщении #627835 писал(а):

$2zz''-z''x=0$

$2z'z''-z''x=0$

integral2009 в сообщении #627835 писал(а):

Кстати, так ведь лучше.

Но нужно проверить, не затесались ли тут лишние решения (наверняка затесались, поскольку общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную, а не две).

[integral2009]

Someone в сообщении #627837 писал(а):

integral2009 в сообщении #627835 писал(а):

$2zz''-z''x=0$

$2z'z''-z''x=0$

Исправил!

-- Вс окт 07, 2012 02:45:51 --

Someone в сообщении #627837 писал(а):

Но нужно проверить, не затесались ли тут лишние решения (наверняка затесались, поскольку общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную, а не две).

Вы имеете ввиду подставить в исходное уравнение и выбрать нужное значение для одной из констант?

-- Вс окт 07, 2012 02:49:07 --

[Someone]

integral2009 в сообщении #627835 писал(а):

$x+yy'=y^2+(yy')^2$

Заменяем $yy'$ на $z$ ($y^2$ не заменяем) и дифференцируем; снова заменяем $yy'$ на $z$.

integral2009 в сообщении #627838 писал(а):

Вы имеете ввиду подставить в исходное уравнение и выбрать нужное значение для одной из констант?

Видимо, так.

[integral2009]

А так --- нельзя?

$x+z=2\displaystyle\int z(y(x))dx+z^2$

$1+z'=2z+2zz'$

$(2z-1)z'=1-2z$

$(1-2z)(z'-1)=0$

1) $z=0,5=yy' \Rightarrow 0,5y^2=0,5x+0,5C_1 \Rightarrow y=\pm\sqrt{x+C_1}$

2) $z=x+C=yy' \Rightarrow 0,5y^2=0,5x^2+Cx+C_2 \Rightarrow y=\pm\sqrt{x^2+2Cx+2C_2}$

А потом можно в исходное уравнение подставить и определить значение какой-то из констант..

[Someone]

integral2009 в сообщении #627841 писал(а):

$(1-2z)(z'-1)=0$

Здесь ошибка.

И опять нужна проверка решения подстановкой в исходное уравнение.

[integral2009]

Someone в сообщении #627842 писал(а):

integral2009 в сообщении #627841 писал(а):

$(1-2z)(z'-1)=0$

Здесь ошибка.

И опять нужна проверка решения подстановкой в исходное уравнение.

Да, понял $(1-2z)(z'+1)=0$, спасибо!!!!!!!