Найти и изобразить область определения функции

[avb1987]

Здравствуйте.

Помогите пожалуйста разобраться - есть задание - найти и изобразить область определения функции $z = \sqrt{x - \sqrt{y}}$.

Получаем:
$x - \sqrt{y} \ge 0$; $y \ge 0$; $x \ge \sqrt{y}$

И собственно вопрос:
Можно ли возвести в квадрат обе части неравенства? Если да то это получается внешняя часть параболы расположенная в 1 и 2 четвертях. Если не возводить то это получается только часть параболы что находится в первой четверти, т.к. если просто извлечь корень то нет такого положительного числа $y$ корень из которого будет равен отрицательному числу. Но с другой стороны можно считать что и $2^2$ и $(-2)^2$ равняются $4$. Вопросы:

1) Можно ли возвести в квадрат обе части неравенства в этом случае?
2) В качестве корней брать $x$ или $\pm x$?

[_Ivana]

avb1987 в сообщении #627630 писал(а):

Можно ли возвести в квадрат обе части неравенства?

Придумайте за пару секунд пример с числами, без букв, который однозначно решает ваш вопрос.

[avb1987]

С числами получается равенство выполняется, следовательно возвести в квадрат можно, просто я почему спросил - может при работе с неравенствами есть какие-то нюансы о которых мне неизвестно.

[_Ivana]

avb1987 в сообщении #627661 писал(а):

С числами получается равенство выполняется, следовательно возвести в квадрат можно

То есть, если вы Андрей, я Андрей - значит вокруг все Андреи?

[avb1987]

Если я сделал неверный вывод, был бы вам очень признателен за объяснение, почему он неправильный. Мне ваша аналогия не совсем понятна.

[_Ivana]

Тогда для начала разберитесь с аналогией. Есть утверждение "все люди носят имя Андрей". Как можно доказать или опровергнуть его истинность или ложность?

[avb1987]

Вы можете без аналогий объяснить почему можно или нельзя? Насколько я понял есть арифметический и алгебраический корни, если в первом случае корень квадратный числа положительного это число положительное, то во втором случае это может быть так же отрицательное число равное положительному по модулю (т.е. два корня). В условии задачи не сказано какой именно корень имеется ввиду, так что формально условие $-2 = \sqrt{4} $ истинно, так же если обе части выражения возвести в квадрат получается что $x$ может принимать отрицательные значения, но в тоже время обычно при извлечении корня берут только положительное число.

[Someone]

avb1987 в сообщении #627682 писал(а):

В условии задачи не сказано какой именно корень имеется ввиду

По умолчанию - всегда арифметический, если речь не идёт о комплексных числах.

avb1987 в сообщении #627630 писал(а):

Можно ли возвести в квадрат обе части неравенства?

А зачем?

[avb1987]

Someone писал(а):

А зачем?

Ну тогда бы это оказалась обычная парабола - просто строить удобнее было бы. Так всетаки? Можно возвести в квадрат и строить в 1 и 2 четвертях, при положительных и отрицательных $x$, либо нельзя и тогда строить только в первой четверти с положительными значениями $x$, раз речь идет об арифметическом корне?

[Shtorm]

avb1987, не надо возводить в квадрат. Стройте только в первой четверти. При построении параболы, её левая ветка - при отрицательных $x$ - совершенно не относится к области определения данной функции.

[_Ivana]

(Оффтоп)

Ну вот, пришел добрый Shtorm и все рассказал! А ТС когда думать будет? Вместо того, чтобы взять одну проверочную точку (-100, 1) размышлять о возведении неравенства в квадрат.

[Shtorm]

_Ivana, ну мы же дали достаточно времени ТС посидеть и повариться в собственном соку Тем более, что задача аналитически решена в первом же сообщении. Оставалась только графическая часть.

[Jnrty]

avb1987 в сообщении #627747 писал(а):

Ну тогда бы это оказалась обычная парабола - просто строить удобнее было бы.

Она и так "обычная парабола". Только половинка. Чем Вам её "неудобно" строить?

[avb1987]

Большое спасибо :)