Приближение функций и представление степенным рядом

[Хет Зиф]

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то согласно теореме Вейерштрасса существует последовательность многочленов ${P_{n}(x)}$, равномерно сходящаяся на отрезке $[a,b]$ к функции f.
чтобы получить такую последовательность, достаточно обозначить через $P_{n}(x)$ многочлен удовлетворяющий условию $|f(x)-P_{n}(x)|< e$, при $e=1/n, n=1,2,...$.И таким образом функция $f$ оказывается представимой в виде суммы равномерно сходящегося на отрезке ряда $f(x)=P_{1}(x)+\sum\limits_{1}^{\infty}[P_{n+1}(x)-P_{n}(x)]$. Где ошибка ? Где ошибка я сам знаю, но хороший конт пример подобрать не могу

[Pyphagor]

О какой ошибки Вы говорите? Действительно ведь f(x) представляется
в виде степенного ряда, а этот степенной ряд и будет пределом
многочленов Р(х), что и стоит в правой части.

[Хет Зиф]

Pyphagor
ошибка есть

[Brukvalub]

Хет Зиф писал(а):

Где ошибка я сам знаю

Нет тут ошибки, зачем морочить людям головы

[Someone]

Только это, конечно, не степенной ряд, а ряд из многочленов.

Степенным рядом далеко не всякая функция представляется, даже бесконечно дифференцируемая.

[Brukvalub]

Хет Зиф писал(а):

И таким образом функция $f$ оказывается представимой в виде суммы равномерно сходящегося на отрезке ряда

Someone писал(а):

Только это, конечно, не степенной ряд, а ряд из многочленов.

Я и не имел в виду степенной ряд, просто равномерно сходящийся функциональный ряд. о котором пишет Хет Зиф

[Someone]

Нет-нет, Brukvalub, это не Вы и не Хет Зиф писали про степенной ряд, это был

Pyphagor писал(а):

... f(x) представляется в виде степенного ряда ...

[Lion]

Хет Зиф, хватит нас мучить, скажите, наконец, где ошибка!

P.S. Скорее всего, я знаю где ошибка. У Хет Зифа.

[Dandan]

нет тут никакой ошибки, так как последовательность $P_n(x)$ (она же последовательность частичных сум ряда) будет равномерно сходиться к $f(x)$

[Хет Зиф]

Извиняюсь.Someone прав. Я имел ввиду что нельзя как бы представить функцию ввиде степенного ряда.
Только вот контр пример не очень придумывается.

[Brukvalub]

Хет Зиф писал(а):

Я имел ввиду что нельзя как бы представить функцию ввиде степенного ряда.
Только вот контр пример не очень придумывается.

Если взять непрерывную, но нигде не имеющую производной функцию, то будет в самый раз. Дело в том, что равномерно сходящийся степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы, а здесь это свойство выполняться не может. Детали додумайте сами.

[Someone]

Обозначим

$$f(x)=\begin{cases}e^{-\frac 1{x^2}}\text{ при }x\neq 0\text{,}\\ 0\text{ при }x=0\text{.}\end{cases}$$

Нетрудно проверить, что эта функция имеет непрерывные производные всех порядков на всей числовой оси, причём, $f^{(k)}(0)=0$ для всех $k=0,1,2,3,\dots$. Кроме того, $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=1$ и $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f^{(k)}(x)=0$ при $k=1,2,3,\dots$. Отсюда следует, что $f(x)$ и все её производные ограничены на всей числовой оси. Обозначим $M_k=\sup\{|f^{(j)}(x)|:x\in\mathbb R,0\leqslant j\leqslant k\}$, $k=0,1,2,3,\dots$.

Функцию $f(x)$ нельзя разложить в степенной ряд $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k$ ни на каком отрезке $[a,b]$, если $a<0<b$, так как точка $x=0$ является существенно особой (в смысле ТФКП).

Пусть $\{r_k:k=1,2,3,\dots\}$ - последовательность всех рациональных чисел (без повторений). Тогда функция

$$g(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{f(x-r_k)}{M_kk^2}$$

имеет на всей числовой оси производные всех порядков, поскольку все ряды

$$g^{(m)}(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{f^{(m)}(x-r_k)}{M_kk^2}$$

при $m=0,1,2,3,\dots$ сходятся на всей числовой оси равномерно (при $k\geqslant m$ будет $\left|\frac{f^{(m)}(x-r_k)}{M_kk^2}\right|\leqslant\frac 1{k^2}$), однако ни на каком интервале её нельзя разложить в степенной ряд.

Вообще, я где-то встречал теорему о том, что в пространстве бесконечно дифференцируемых функций на отрезке $[a,b]$ (топология задаётся последовательностью полунорм $\|f\|_k=\sup\{|f^{(k)}(x)|:a\leqslant x\leqslant b\}$, $k=0,1,2,3,\dots$) множество функций, допускающих разложение в степенной ряд в окрестности хотя бы какой-нибудь точки $x_0\in[a,b]$, является множеством первой категории, то есть, объединением счётного семейства нигде не плотных множеств. Поскольку пространство бесконечно дифференцируемых функций полно, оно не является объединением счётного семейства нигде не плотных множеств, поэтому большинство бесконечно дифференцируемых функций ни на каком интервале не разлагаются в степенной ряд.