Сложное тригонометрич. уравнение

[number_one]

Решите уравнение $\cos(2x)-\sin(5x)=4\cos^2x$

Подскажите, пожалуйста, в какую сторону думать! Вот мои попытки:

Представил $\sin(5x)=\sin(2x+3x)=\sin(2x)\cos(3x)+\sin(3x)\cos(2x)$

$4\cos^2x=2\cos(2x)+2$

Потом раскрывал тройной угол, пришел к уравнению

$\cos(2x)+2\sin(2x)\cos(2x)\cos(x)+2=0$

Но это уравнение показалось ничем не красивее...

[ShMaxG]

Не надо $\sin5x$ раскладывать, только квадрат косинуса до косинуса двойного угла. Соберите тригонометрию в одной стороне, число - в другую сторону. И очень внимательно посмотрите.

[_Ivana]

ShMaxG в сообщении #627390 писал(а):

И очень внимательно посмотрите.

Правильно, а чтобы решение искалось легче, в исходном уравнении замените $\sin5x$ на $\sin337x$ - это поможет сразу отбросить соблазнительные но ложные направления размышлений

[number_one]

ShMaxG в сообщении #627390 писал(а):

Не надо $\sin5x$ раскладывать, только квадрат косинуса до косинуса двойного угла. Соберите тригонометрию в одной стороне, число - в другую сторону. И очень внимательно посмотрите.

Спасибо, попробую:

$\cos(2x)-\sin(5x)=4\cos^2x$

$\cos(2x)-\sin(5x)=2(\cos(2x)+1)$

$\cos(2x)-\sin(5x)=2\cos(2x)+2$

$-\sin(5x)=\cos(2x)+2$

$-2=\cos(2x)+\sin(5x)$

$\cos(2x)+\sin(5x)=-2$

$\left\{\!\begin{aligned}& {\cos(2x)=-1} \\& {\sin(5x)=-1} \end{aligned}\right. $

$\left\{\!\begin{aligned}& {x=\frac{\pi}{2}+\pi n} \\& {x=\dfrac{3\pi}{10}+\dfrac{2\pi n}{5}} \end{aligned}\right. $

$n$ - целое. Найдем при каких $n$ выполняется равенство:

$\dfrac{\pi}{2}+\pi n=\dfrac{3\pi}{10}+\dfrac{2\pi n}{5}$

$\dfrac{1}{2}+ n=\dfrac{3}{10}+\dfrac{2 n}{5}$

$5+ 10n=3+4n$

$6n=-2$

нет решения в целых числах. Верно?

[ShMaxG]

Косинус и синус равны $-1$, а не одному.

[number_one]

ShMaxG в сообщении #627398 писал(а):

Косинус и синус равны $-1$, а не одному.

Думал, что успею исправить, не вышло(( А теперь - верно?

-- 05.10.2012, 22:55 --

$\left\{\!\begin{aligned}& {\cos(2x)=-1} \\& {\sin(5x)=-1} \end{aligned}\right. $

$\left\{\!\begin{aligned}& {x=\frac{3\pi}{4}+\pi n} \\& {x=\dfrac{3\pi}{10}+\dfrac{2\pi n}{5}} \end{aligned}\right. $

$n$ - целое. Найдем при каких $n$ выполняется равенство:

$\frac{3\pi}{4}+\pi n=\dfrac{3\pi}{10}+\dfrac{2\pi n}{5}$

$\frac{3}{4}+ n=\dfrac{3}{10}+\dfrac{2n}{5}$ домножим на 20

$15+ 20n=6+8n$

$12n=-9$

Нет решений в целых числах

[ShMaxG]

Вы уравнения системы решили правильно,

$\[\left\{ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{2} + \pi n,{\text{ }}n \in \mathbb{Z} \hfill \\ x = \frac{{3\pi }}{{10}} + \frac{{2\pi k}}{5},{\text{ }}k \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

но в своих решениях обозначаете натуральный параметр одной буквой и смешиваете -- это не верно. Для косинуса это множество. И для синуса тоже множество. Вы должны искать пересечения этих множеств.

[_Ivana]

number_one в сообщении #627402 писал(а):

Нет решений в целых числах

http://s16.radikal.ru/i190/1210/50/f634a07c3a0b.jpg

[number_one]

ShMaxG в сообщении #627415 писал(а):

Вы уравнения системы решили правильно,

$\[\left\{ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{2} + \pi n,{\text{ }}n \in \mathbb{Z} \hfill \\ x = \frac{{3\pi }}{{10}} + \frac{{2\pi k}}{5},{\text{ }}k \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

но в своих решениях обозначаете натуральный параметр одной буквой и смешиваете -- это не верно. Для косинуса это множество. И для синуса тоже множество. Вы должны искать пересечения этих множеств.

А я думал, что когда мы решаем систему (то есть пересекаем), то буквы нужно одинаковые брать...А когда нужно одинаковые брать? Когда совокупность (то есть - когда объединяем)

$\frac{\pi }{2} + \pi n=\frac{{3\pi }}{{10}} + \frac{{2\pi k}}{5}$

$\frac{1 }{2} + n=\frac{{3}}{{10}} + \frac{{2 k}}{5}$

$5 + 10n=3 + 4k$

$10n=4k-2$

$5n=2k-1$

То есть $k$ должно делится на $5$, a $n$ должно делится на $2$

Тогда можно ли ответ выписать так?

$x = \frac{\pi }{2} + 2\pi n,{\text{ }}n \in \mathbb{Z}$

[_Ivana]

number_one в сообщении #627420 писал(а):

Тогда можно ли ответ выписать так?

Разумеется можно. Ведь он же совпадает с графиком, правда?

[number_one]

_Ivana в сообщении #627422 писал(а):

number_one в сообщении #627420 писал(а):

Тогда можно ли ответ выписать так?

Разумеется можно. Ведь он же совпадает с графиком, правда?

Не совпадает

[Shtorm]

_Ivana в сообщении #627422 писал(а):

number_one в сообщении #627420 писал(а):

Тогда можно ли ответ выписать так?

Разумеется можно. Ведь он же совпадает с графиком, правда?

Математики шутят. Даже достаточно подставить $\frac {\pi}{2}$ в исходное уравнение и увидим, что неверно.

[_Ivana]

number_one в сообщении #627424 писал(а):

Не совпадает

Надо было вас оставить без графика, раз вы ленитесь проверить ваше же решение прямой подстановкой в уравнение первого же значения при $n = 0$.

PS пока думал как написать корректно и цензурно, уже опередили

[number_one]

Да, я как раз подставил, но сначала написал сообщение сюда...

-- 05.10.2012, 23:33 --

Тогда можно ли ответ выписать так?

$5n=2k-1$

$n=\dfrac{2k-1}{5}$


$x = \frac{\pi }{2} + 2\pi \frac{2k-1}{5},{\text{ }}n \in \mathbb{Z}$

При $n=3$ получается ерунда. В чем ошибка?((

[number_one]

Решил с помощью окружности, получилось $x=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n$

Но не могу найти ошибку в аналитическом решении(((