Ищу доказательство: Теорема Бэра. Полунепрерывные функции.

[samson4747]

Доброго времени суток!
Ищу доказательство следующих фактов:

$1)$ If $u$ and $v$ are a lower and upper semicontinuous function on a complete metric space $(X,d)$ such that $-\infty<u(x)\leqslant v(x)<+\infty$ for every $x\in X$, then there is a continuous function $f:X\to\infty$ such that $u\leqslant f \leqslant v$.

$2)$ теоремы Бэра о полунепрерывных функциях
(на случай $f:\,(X,\rho)\to(0,+\infty)$, где $(X,\rho)$ абстрактное метрическое пространство)

Примечание:
$1)$ Relations to continuous functions / Proposition 5

$2)$ теоремы Бэра о полунепрерывных функциях / мат. энциклопедия Т1

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[chessar]

А в цитируемой литературе из энциклопедии (Бэр, Натансон) не смотрели? Или там как раз отсутствует нужное?

[samson4747]

chessar писал(а):

там как раз отсутствует нужное

[samson4747]

Осталось, доказать:


$1)$ If $u$ and $v$ are a lower and upper semicontinuous function on a complete metric space $(X,d)$ such that $-\infty<u(x)\leqslant v(x)<+\infty$ for every $x\in X$, then there is a continuous function $f:X\to\infty$ such that $u\leqslant f \leqslant v$.

Вопрос: Cущественна ли здесь полнота метрического пространства?

[samson4747]

Удивляет, что эта теорема стоит, как свойство полунепрерывных функций в Википедии, а найти её в литературе в данной формулировке не могу:

• Если $u:X \to \mathbb{R}$ и $v:X \to \mathbb{R}$ есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено $ -\infty < v(x) \le u(x) < \infty,\; x\in X$, то существует непрерывная функция $f:X \to \mathbb{R}$, такая что $v(x) \le f(x) \le u(x),\; x\in X$.

Есть только теорема Витали-Каратеодори.

[samson4747]

Эта теорема для отрезка:

[AGu]

Katětov–Tong insertion theorem

[samson4747]

$$\color{brown}\boxed{\textbf{Спасибо,\color{blue}{\ AGu}}!}$$