2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.
Сообщение04.10.2012, 09:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Существует ли монотонно убывающая функция $f(x)$ удовлетворяющая уравнению $$f(f(x))=g(x).$$
1)Для $g(x)=x+1$.
2) для $g(x)=2x+1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.
Сообщение04.10.2012, 12:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3117
Уфа
1) Если бы такая функция была, то, в силу монотонного её убывания была бы такая точка $y$, в которой $f(y)=y$. С другой стороны: $y+1=f(f(y))=f(y)=y$, противоречие. А с какого это вдруг? Про непрерывность ничего не говорилось.

-- Чт окт 04, 2012 14:26:55 --

2) Пожалуйста, $f(x)=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.
Сообщение04.10.2012, 12:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
worm2 в сообщении #626809 писал(а):
1) Если бы такая функция была, то, в силу монотонного её убывания была бы такая точка $y$, в которой $f(y)=y$.

Почему существует $y,$ для которого $f(y)=y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.
Сообщение04.10.2012, 12:31 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Пример $f(x)=1-x, x\le 0$ и $f(x)=-1-x, x>0$ не имеет такой точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.
Сообщение04.10.2012, 12:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3117
Уфа
Да, непрерывность нужно отдельно доказывать.

-- Чт окт 04, 2012 14:49:59 --

Можно, например, так: у монотонной функций в каждой точке существуют левый и правый пределы. Далее, существует точка $y$, в которой $f(y-0)\geqslant y$, $f(y+0)\leqslant y$. Но, поскольку $f(f(y-0))=f(f(y+0))=y$, получаем, что $f(y-0)=f(y+0)$, иначе функция $f$ принимала бы одно и то же значение ($y$) в двух разных точках, что противоречит монотонности.

Хотя лучше было бы тут без понятия непрерывности вообще обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение $f(f(x))=\g(x)$.
Сообщение04.10.2012, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
$f(f(x))=x+1$
$f(f(f(x)))=f(x+1)=f(x)+1$ - возрастает

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group