2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Арифметика, задача М1463 из "Кванта"
Сообщение02.10.2012, 23:46 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Существуют ли такие натуральные числа $x$ и $y$, что каждое из чисел

а) $x+y,\quad 2x+y\quad\text{и}\quad x+2y$

б) $x+y,\quad 2x+y\quad\text{и}\quad 3x+y$

является квадратом натурального числа?

(Попытка)

Пункт а):
В этом пункте моё решение резко отличается от авторского, посему и решила спросить, если в нём нет ошибки нет ли в нём ошибки.

Так как $x+y$ является квадратом, возможны два случая:

Первый случай: $x+y$ делится на 4.
В этом случае каждое из чисел $x$ и $y$ должно также делиться на 4 (в противном случае не прокатит по остаткам на 4). Но тогда, уменьшив каждое из чисел $x$ и $y$ вчетверо (возможно, не один раз, методом скоростного спуска), мы сведём задачу ко второму случаю (см. ниже).

Второй случай: $x+y$ даёт остаток 1 при делении на 4. Но тогда вообще не прокатывает по остаткам на 4:

Если одно из чисел $x$ и $y$ кратно 4, то второе даёт 1, но тогда одно из чисел $2x+y\quad\text{и}\quad x+2y$ - не квадрат.

Если же одно из чисел $x$ и $y$ даёт остаток 2, то второе даёт 3, но тогда опять не прокатывает.

Итак, решений нет.



Пункт б):
Подойдёт почти любая прогрессия из трёх квадратов (Почему "почти"? Потому что, скажем 4, 100, 196 не годится, число 4 ещё не доросло). Построить её можно, например, так: $a^2, \quad (a+10)^2,\quad (a+18)^2$.

Применяя ФСУ, имеем $a^2, \quad a^2+20a+100,\quad a^2+36a+324$, откуда получаем уравнение $4a=124\to a=31$ и получаем прогрессию $31^2, 41^2, 49^2$, значит можно взять $x=720, y=241$.

Интересно то, что в авторском решении пункта б) пример тот же, только построили они его иным способом (а может, я просто не вчитывалась).

Вот авторское решение обоих пунктов: http://kvant.mccme.ru/1995/03/resheniya ... nta_ma.htm

Заранее благодарна!

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметика, задача М1463 из "Кванта"
Сообщение03.10.2012, 01:59 


05/09/12
2547
Исходные уравнения сводятся к решению в целых числах
а) $a^2 + b^2 = 3c^2$
б) $a^2 + b^2 = 2c^2$
В книжке В. Серпинского "О решении уравнений в целых числах", которую я скачал специально для этой задачи, сказано, что первое уравнение не имеет целочисленных решений, и там же показано решение второго уравнения. Но не любое решение второго уравнения дает нам натуральные значения $x, y$. Я нашел одно решение: $x = 3960, y = 2281$ и успокоился на этом. Теперь можно и попытку ТС почитать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметика, задача М1463 из "Кванта"
Сообщение03.10.2012, 02:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5651
Первую задачу как ни решай, все равно получится. Например, квадрат дает остаток 0 или 1 от деления на 4. Если мы сложим все 3 квадрата, то получим $4x+4y$. Значит, все три могут быть только нулями. Тогда очевидно (вычли первый из второго и третьего), что $x$ делится на 4. Тогда поделим все на 4.

Впрочем, это то же самое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group