Арифметика, задача М1463 из "Кванта"

[Ktina]

Существуют ли такие натуральные числа $x$ и $y$, что каждое из чисел

а) $x+y,\quad 2x+y\quad\text{и}\quad x+2y$

б) $x+y,\quad 2x+y\quad\text{и}\quad 3x+y$

является квадратом натурального числа?

(Попытка)

Пункт а):
В этом пункте моё решение резко отличается от авторского, посему и решила спросить, если в нём нет ошибки нет ли в нём ошибки.

Так как $x+y$ является квадратом, возможны два случая:

Первый случай: $x+y$ делится на 4.
В этом случае каждое из чисел $x$ и $y$ должно также делиться на 4 (в противном случае не прокатит по остаткам на 4). Но тогда, уменьшив каждое из чисел $x$ и $y$ вчетверо (возможно, не один раз, методом скоростного спуска), мы сведём задачу ко второму случаю (см. ниже).

Второй случай: $x+y$ даёт остаток 1 при делении на 4. Но тогда вообще не прокатывает по остаткам на 4:

Если одно из чисел $x$ и $y$ кратно 4, то второе даёт 1, но тогда одно из чисел $2x+y\quad\text{и}\quad x+2y$ - не квадрат.

Если же одно из чисел $x$ и $y$ даёт остаток 2, то второе даёт 3, но тогда опять не прокатывает.

Итак, решений нет.



Пункт б):
Подойдёт почти любая прогрессия из трёх квадратов (Почему "почти"? Потому что, скажем 4, 100, 196 не годится, число 4 ещё не доросло). Построить её можно, например, так: $a^2, \quad (a+10)^2,\quad (a+18)^2$.

Применяя ФСУ, имеем $a^2, \quad a^2+20a+100,\quad a^2+36a+324$, откуда получаем уравнение $4a=124\to a=31$ и получаем прогрессию $31^2, 41^2, 49^2$, значит можно взять $x=720, y=241$.

Интересно то, что в авторском решении пункта б) пример тот же, только построили они его иным способом (а может, я просто не вчитывалась).

Вот авторское решение обоих пунктов: http://kvant.mccme.ru/1995/03/resheniya ... nta_ma.htm

Заранее благодарна!

[_Ivana]

Исходные уравнения сводятся к решению в целых числах
а) $a^2 + b^2 = 3c^2$
б) $a^2 + b^2 = 2c^2$
В книжке В. Серпинского "О решении уравнений в целых числах", которую я скачал специально для этой задачи, сказано, что первое уравнение не имеет целочисленных решений, и там же показано решение второго уравнения. Но не любое решение второго уравнения дает нам натуральные значения $x, y$. Я нашел одно решение: $x = 3960, y = 2281$ и успокоился на этом. Теперь можно и попытку ТС почитать

[g______d]

Первую задачу как ни решай, все равно получится. Например, квадрат дает остаток 0 или 1 от деления на 4. Если мы сложим все 3 квадрата, то получим $4x+4y$. Значит, все три могут быть только нулями. Тогда очевидно (вычли первый из второго и третьего), что $x$ делится на 4. Тогда поделим все на 4.

Впрочем, это то же самое.