2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение30.09.2012, 22:37 
Вот такая система:
$x y - 6 =\frac {y^3} x$

$x y + 24 =\frac {x^3} y$

попытался выразить $x$ из первого:
$y x^2 - 6x - y^3 = 0$

$x_{1,2} = \frac{ 3 \pm \sqrt{9 + y^4 }}{ y }}$

далее подставил $x_{1}$ во второе уравнение, получил:
$18 y^4 - 36 \sqrt{9 + y^4 } - 108 = 0$
решив уравнение можно найти нужные корени $y = 2$ $y = -2$

можно решать таким способом эту систему, или существует более рациональный способ решения?

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение30.09.2012, 23:01 
Убеждаетесь что нули обоих аргументов не являются корнями, делите оба уравнения на игрек в квадрате, делаете замены переменных, исключаете одну переменную, по оставшейся решаете биквадратное уравнение и т.д.

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение30.09.2012, 23:06 
Из условия следует, что x \ne 0,\,\,y \ne 0.
Попробуйте почленно перемножить данные уравнения.

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение01.10.2012, 00:31 
_Ivana, всё еще проще. Можно без квадратных уравнений обойтись.

$$\begin{cases}
 xy-6=\dfrac{y^3}{x}, \\
 xy+24=\dfrac{x^3}{y}. 
\end{cases}$$
Первое уравнение разделим на $x^2$, а второе соответственно на $y^2$:
$$\begin{cases}
 \dfrac{y}{x}-\dfrac{6}{x^2}=\dfrac{y^3}{x^3}, \\
 \dfrac{x}{y}+\dfrac{24}{y^2}=\dfrac{x^3}{y^3}. 
\end{cases}$$
$x, y \ne 0$, тогда заменим $\dfrac{x}{y}=t$ и $\dfrac{6}{x^2}=u$, причем $u, t \ne 0$ и $u>0$.
$$\begin{cases}
 \dfrac{1}{t}-6=\dfrac{1}{t^3}, \\
 t+4ut^2=t^3; 
\end{cases} \quad \begin{cases}
 t^2-ut^3=1, \\
 t^2-4ut=1; 
\end{cases} \quad \begin{cases}
 u=\dfrac{t^2-1}{t^3}, \\
 u=\dfrac{t^2-1}{4t}. 
\end{cases}$$
$$\dfrac{t^2-1}{t^3}=\dfrac{t^2-1}{4t}$$
При $t^2=1$ имеем $u=0$, что не удовлетворяет условию $u \ne 0$. Тогда получим уравнение: $$\dfrac{1}{t^3}=\dfrac{1}{4t}; \quad t^2=4; \quad t=\pm 2.$$
Получаем, что $t=\pm 2; \quad u=\pm \dfrac{3}{8}$. Так как $u>0$ единственное решение положительно, при обратной замене равносильно системе:
$$\begin{cases}
 \dfrac{x}{y}=2, \\
 \dfrac{6}{x^2}=\dfrac{3}{8}; 
\end{cases} \Rightarrow x=\pm 4;  y= \pm 2.$$
Решением будут две пары чисел $(4; 2)$ и $(-4; -2)$.

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение01.10.2012, 11:26 
Аватара пользователя
 !  Keter,

это уже рецидив, о чём Вас предупреждаю.

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение01.10.2012, 16:04 
Аватара пользователя
 i  Ранее объявленное предупреждение снимаю: моя невнимательность.

Соответственно, приношу свои извинения.

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение01.10.2012, 22:09 
решил ещё проще:

$\begin{cases} \dfrac{x^2y}{x} - \dfrac{y^3}{x}=6, \\
\dfrac{xy^2}{y} - \dfrac{x^3}{y}= -24. \end{cases}$

$\begin{cases} \dfrac{ {y} {(x^2 - y^2)} }{x} - =6, \\     
\dfrac{{x}({y^2-x^2})}{y}  = -24. \end{cases}$

$\begin{cases} \dfrac{ {y} {(x - y)}{(x+y)} }{x} - =6, \\
\dfrac{{x}({y-x}){(y+x)}}{y}  = -24. \end{cases}$

$ {-4}\dfrac{ {y} {(x - y)}{(x+y)} }{x}= \dfrac{{x}({y-x}){(y+x)}}{y} $

$4y^2=x^2$
$x=2y$ $x=-2y$

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение02.10.2012, 07:00 
На самом деле надо было следовать

Cute в сообщении #625425 писал(а):
Попробуйте почленно перемножить данные уравнения.

Квадраты там сокращаются, после чего мгновенно $xy=8$, дальше тривиально.

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение02.10.2012, 16:50 
Предлагаю для тренировки решить такую систему:
$$\begin{cases} x^2-3xy+y^2=-1, \\ 2x^2+5xy-y^2=17.  \end{cases}$$

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение02.10.2012, 16:57 
Умножаем первое на 17, складываем со вторым, а дальше замена...

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение02.10.2012, 17:24 
Mitrius_Math, уверены, что замена?

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение02.10.2012, 17:40 
Keter в сообщении #626093 писал(а):
Mitrius_Math, уверены, что замена?


Да, после деления обеих частей на $y^2$.

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение02.10.2012, 18:57 
Mitrius_Math, ну а можно без замены сразу решать как квадратное относительно $x$, получим $D=900 y^2$ и иксы выраженные через $y.$

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение02.10.2012, 19:49 
Keter в сообщении #626135 писал(а):
ну а можно без замены сразу решать как квадратное

Можно, но логически невыгодно. С делением же -- воистину по-школьному и воистину стандартно.

 
 
 
 Re: Школьная алгебра (система уравнений)
Сообщение02.10.2012, 19:52 
Keter, конечно же, можно, но я не надеялся на хороший дискриминант.

ewert в сообщении #626162 писал(а):
С делением же -- воистину по-школьному и воистину стандартно.


У нас в школе и близко такого не было. :roll:

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group