Последовательность количества натуральных делителей

[xmaister]

Пусть $d(n)$- число различных натуральных делителей числа $n$. Докажите, что для всякого $n_0\in\mathbb{N}$ последовательность $\{d(n^2+1)\}_{n=n_0}^{\infty}$ не является строго возрастающей.

[nnosipov]

Автор этой задачи, А. Голованов, мне сообщил, что будет интереснее, если из условия убрать слово "строго".

[xmaister]

Ок, положим, что из условия убрали строго.

(Оффтоп)

Я эту задачу позаимствовал отсюда.

[ИСН]

От таких задач у меня всегда впечатление, будто я пытаюсь в здоровенном ангаре грузовиком задавить мышь. Грузовик тоже здоровенный, неповоротливый, ноги не достают до педалей. А надо.
Короче, со строгим ростом там по ссылке показано, что порядок роста тау получается несообразный. Теперь с нестрогим. Чтобы не опираться на сложную фигню типа бесконечности количества простых вида $n^2+1$ (кстати, это известно, или тоже открытый вопрос?), попробуем так. Нехай $\tau(n^2+1)=k$, ну и у всех последующих не меньше. (На всякий случай: $\vphantom{3}\scriptstyle n\equiv3\pmod5$) А ведь произведение этого на следующее - $(n^2+1)((n+1)^2+1)=(n^2+n+1)^2+1$ - число тоже из нашего ряда, и у него делителей не меньше $k^2$. Повторив этот трюк с ним и следующим за ним, а потом снова и снова, получим последовательность, в которой порядок роста тау - хотя очень маленький, но всё-таки степенной. А так быть не должно.

[Sonic86]

ИСН в сообщении #625998 писал(а):

бесконечности количества простых вида $n^2+1$ (кстати, это известно, или тоже открытый вопрос?)

Открытый

[nnosipov]

ИСН, симпатичное решение. А я рассматривал уравнение $5(m^2+1)=2(n^2+1)$, но не сумел приспособить своё рассуждение на случай, когда нет "строго".