2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 mod-ы
Сообщение29.09.2012, 09:31 


03/06/11
7
Почему именно mod-ы (остатки от деления) так широко применяются теорией чисел? из-за прогнозируемости их свойств? просто как то интересно..

 Профиль  
                  
 
 Re: mod-ы
Сообщение29.09.2012, 09:47 


19/05/10

3940
Россия
потому что это работает

 Профиль  
                  
 
 Re: mod-ы
Сообщение29.09.2012, 15:18 


23/01/07
3525
Новосибирск
По другому mod-ы можно охарактеризовать, как "выраженные в десятичной форме окончания чисел в n-чной системе счисления". Со всеми вытекающими последствиями.

 Профиль  
                  
 
 Re: mod-ы
Сообщение29.09.2012, 15:33 
Заслуженный участник


08/04/08
8564
Alexdn в сообщении #624600 писал(а):
Почему именно mod-ы (остатки от деления) так широко применяются теорией чисел? из-за прогнозируемости их свойств? просто как то интересно..
Применяются чаще классы вычетов. Ну просто потому что они довольно часто везде вылазят. Например, все гомоморфизмы кольца $\mathbb{Z}$ - это как раз $\mathbb{Z}_n$. В частности, это означает, что если Вы решаете уравнения в целых числах, то Вы можете пользоваться свойствами вычетов. Кольца $\mathbb{Z}_n$ конечны, что очень удобно.
Ну можно много что написать...

 Профиль  
                  
 
 Re: mod-ы
Сообщение29.09.2012, 15:39 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Батороев в сообщении #624761 писал(а):
mod - "выраженные в десятичной форме окончания чисел в n-чной системе счисления"

Теория чисел только для удобства пользуется десятичной системой. И результат оператора mod от системы счисления никак не зависит, хотя и выглядит в них по-разному.
А вот Ваше определение никак в голове не укладывается. При чём здесь окончания чисел? Почему mod обречён "выражаться" в десятичной системе?

 Профиль  
                  
 
 Re: mod-ы
Сообщение29.09.2012, 15:49 
Заслуженный участник


08/04/08
8564
atlakatl в сообщении #624768 писал(а):
Теория чисел только для удобства пользуется десятичной системой....
Да не при чем тут это.... Батороев просто сказал, что мы пишем конкретные числа в десятичной системе счисления.
Вообще, правильнее говорить именно о классах вычетов, а не об остатках. Остатки просто более понятны.

 Профиль  
                  
 
 Re: mod-ы
Сообщение29.09.2012, 16:04 


23/01/07
3525
Новосибирск
atlakatl в сообщении #624768 писал(а):
Теория чисел только для удобства пользуется десятичной системой. И результат оператора mod от системы счисления никак не зависит, хотя и выглядит в них по-разному.
А вот Ваше определение никак в голове не укладывается. При чём здесь окончания чисел? Почему mod обречён "выражаться" в десятичной системе?

В записи чисел в любых системах (например, в n-чной) окончание (последняя цифра) - это то, что не вошло в число целых "десятков", другими словами, что не поделилось на n, а это и есть остаток.
Результат оператора mod напрямую связан с основанием, поэтому по моей интерпретации напрямую связан с системой счисления. Почему окончания чисел в различных системах должны были бы записываться в десятичной системе? По-видимому, по причине указанного Вами удобства.

-- 29 сен 2012 20:21 --

Более того, я на форуме уже неоднократно предлагал записывать числа в различных системах, используя цифры в виде чисел десятичной системы, отделяя цифры друг от друга какими-нибудь разделителями.
Например:
$11514_{10}=21|17|14_{23}$

 Профиль  
                  
 
 Re: mod-ы
Сообщение01.10.2012, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Sonic86 в сообщении #624766 писал(а):
все гомоморфизмы кольца $\mathbb{Z}$ - это как раз $\mathbb{Z}_n$.

Как фактор $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ может быть гомоморфизмом?

 Профиль  
                  
 
 Re: mod-ы
Сообщение03.10.2012, 05:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5937
Новосибирск
Подумаешь - оговорился. Ну все факторы ...
Хм, среди факторов есть нулевое кольцо и всё $\mathbb Z$ - это $\mathbb Z_1$ и $\mathbb Z_\infty$, что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: mod-ы
Сообщение05.10.2012, 16:44 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
bot
$\mathbb Z_1=\mathbb Z/1\mathbb Z=\mathbb Z/\mathbb Z=\{0\}$;
$\mathbb Z_0=\mathbb Z/0\mathbb Z=\mathbb Z/\{0\}=\mathbb Z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: mod-ы
Сообщение05.10.2012, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5937
Новосибирск
С $\mathbb Z_1$ всё понятно и всё сходится: идеал - всё кольцо, в факторе 1 элемент и сравнение по модулю 1 означает ровно то же - всё слипнется.
В случае же когда идеал нулевой, то понятно - это $\{0\}=0\cdot\mathbb Z$, тогда $\mathbb Z/\{0\}=\mathbb Z$, но обозначать этот фактор значком $\mathbb Z_0$ рука не поднимается - так как число элементов в нём уж точно не совпадает с индексом 0 - вот он где высунулся образующий главного идеала!
Хотя всё-таки сравнение по модулю ноль при надлежащей интерпретации даёт отношение равенства (*), то есть с этих позиций обозначение $\mathbb Z_0=\mathbb Z$ оправдано.
(*) $a\equiv b\pmod {0} \Leftrightarrow (\exists k\in \mathbb Z)(a-b=k\cdot 0=0)$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group