Матричный логарифм

[INDIGO1991]

Всем добрый вечер!

Есть вопрос, от каких матриц можно взять логарифм?

Подскажите, пожалуйста, в каком направлении думать или где можно почитать. Спасибо.

p.s. У меня складывается впечатление, что от невырожденных.

[xmaister]

Если брать действительные (или комплексные) матрици, например, $2\times 2$, то обычно $\ln\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}$ понимают как предел $\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\frac1{i}\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}^{i}$ по матричной норме, если $|a|,|b|<1$. Норму берите любую, они все эквивалентны. Как определить эту штуку в более общем случае не ведаю совершенно .

[INDIGO1991]

Спасибо!
А в общем случае, наверно, можно определить также?
Или там возникает проблема?

p.s. Для жордановых клеток наверно все тоже будет хорошо

_____
Понял проблему.

[xmaister]

INDIGO1991 в сообщении #625865 писал(а):

Или там возникает проблема?

Ну например таким способом не определить матричный логарифм, если $|a|,|b|>1$, сами понимаете почему.

[INDIGO1991]

Да, я уже понял... =(

[Nimza]

Если определитель $X$ не ноль, то можно брать логарифм. Пусть $G$ --- жорданова форма $X$. Тогда $X = R^{-1}GR$, $\det R \neq 0$. Определим $\ln X = R^{-1} \ln (G) R$. Матрица $G$ --- блочно диагональная. Определим её логарифм поблочно. Осталось лишь определить логарифм от жордановой клетки $n \times n$ вида $J_{n} = \lambda I + V_{n}$, где $V_{n}$ --- матрица из единичек над главной диагональю. Положим

$$ \ln ( \lambda I + V_n ) = I \ln (\lambda) + \ln \left(I + \frac{V_n}{\lambda} \right) $$

Второе слагаемое справа можно определить через ряд Маклорена. В нём будет лишь конечное число слагаемых, т.к. матрица $\frac{V_n}{\lambda}$ нильпотентна.

То, что это действительно логарифм, проверяется непосредственно ($e^{\ln X} = X$). Чтобы это показать, можно воспользоваться тем, что $e^{R^{-1}MR} = R^{-1}e^{M}R$.

[INDIGO1991]

Спасибо большое! То, что нужно! =)