Группы

[xmaister]

Пусть дана диаграмма

$$\xymatrix{0\ar[r]&H\ar[r]^{g_1}\ar[d]^{\varphi_1}&G\ar[r]\ar[d]^{\varphi_2}&G/H\ar[r]\ar[d]^{\mathrm{id}}&0\\0\ar[r]&H/K\ar[r]^{g_2}&G/K\ar[r]&G/H\ar[r]&0}$$

в которой $H,K\subset G$- нормальные подгруппы группы $G$, строки точны, а $\varphi_1,\varphi_2$- фактор-отображения, т.е. $\varphi_i(x)=xK,i=1,2$. Почему такая диаграмма обязана быть коммутативной? А если я положу, что $g_1=j_1\circ f_1$, где $f_1\in\mathrm{Aut}(H)$- произвольный, а $j_1:H\to G$- тождественное вложение и $g_2=j_2\circ f_2$, $f_2\in\mathrm{Aut}(H/K)$, $j_2:H/K\to G/K$- тождественное вложение. Это не нарушает точности строк. Почему в таком случае квадрат

$$\xymatrix{H\ar[r]^{g_1}\ar[d]^{\varphi_1}&G\ar[d]^{\varphi_2}\\H/K\ar[r]^{g_2}&G/K}$$

обязательно будет коммутативен?

[AV_77]

Теоремы о гомоморфизмах, вторая, наверное, $G / H \simeq (G / K) / (H / K)$

[xmaister]

AV_77 в сообщении #625201 писал(а):

$G / H \simeq (G / K) / (H / K)$

Это понятно, ведь существует единственный гомоморфизм $\varphi$, такой что диаграмма

$$\xymatrix{G/K\ar[rrd]^{f}\ar[rr]^{\xi}&&(G/K)/(H/K)\ar[d]^{\varphi}\\&&G/H}$$

коммутитвна, где $f(xK)=xH$, $\xi :G/K\to (G/H)/(H/K)$- фактор-отображение. Вопрос в следующем, почему из точности строки

$$\xymatrix{0\ar[r]&H\ar[r]^{f}&G\ar[r]^{g}&G/H\ar[r]\ar[r]&0}$$

обязательно следует, что $f$- вложене, $g$- фактор-отображение? Я не понимаю, что значит, что точная последовательность
$\xymatrix{0\ar[r]&G'\ar[r]^{f}&G\ar[r]^{g}&G''\ar[r]\ar[r]&0}$- одно и тоже, что и последовательность
$\xymatrix{0\ar[r]&H\ar[r]&G\ar[r]&G/H\ar[r]\ar[r]&0}$, где $H=\mathrm{Ker}g$?

[AV_77]

xmaister в сообщении #625233 писал(а):

Вопрос в следующем, почему из точности строки

$$\xymatrix{0\ar[r]&H\ar[r]^{f}&G\ar[r]^{g}&G/H\ar[r]\ar[r]&0}$$

обязательно следует, что $f$- вложене, $g$- фактор-отображение?

Это по определению. Строка точная, если ядро каждого отображения совпадает с образом предыдущего отображения, в частности, $\ker f = 0$ и $\ker g = \operatorname{Im}\ f$

[xmaister]

А почему мы не можем взять вместо вложения $f$ композицию $j_1\circ f_1$, где $f_1\in\mathrm{Aut}(H)$- произвольный, $j_1$- вложение. Тогда точность не нарушится же...

[AV_77]

Почему не можем? Про единственность же не утверждается, а вложений может быть много. Вложение - это же просто мономорфизм (гомоморфизм с нулевым ядром). Например в строке
$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0$
вложение можно разными способами выбирать, в первый сомножитель, во второй, и т.д.

[xmaister]

Но тогда, если $g_1,g_2$- произвольные мономорфизмы, а $\varphi_1,\varphi_2$- фактор-отображения, квадрат

$$\xymatrix{H\ar[r]^{g_1}\ar[d]^{\varphi_1}&G\ar[d]^{\varphi_2}\\H/K\ar[r]^{g_2}&G/K}$$

не обязательно коммутативен.
Как тогда понимать вот это утверждение&

[AV_77]

Честно говоря, про диаграммы не очень помню, сам ими почти не пользуюсь. Но вроде там просто достаточно существования гомоморфизмов, которые делают диаграмму коммутативной. Могу, конечно, и ошибаться.

[xmaister]

А, если так, то действительно получается очевидно. Если я захочу рассмотривать категорию точных последовательностей, то какие морфизмы считать там естественными?

-- 30.09.2012, 20:22 --

Почему в некоторых точных последовательностях не пишут название гомомрфизмов, например тут:

Какие морфизмы здесь должны быть в таком случае? Они же не определены однозначно...

[xmaister]

У Маклейна в гомологии при определении точных последовательностей он явно указывает какие там морфизмы, в частности в коротких точных последовательностях

$$\xymatrix{0\ar[r]&H\ar[r]^{j}&G\ar[r]^{\varphi}&G/H\ar[r]&0}$$

, где $j$- тождественное вложение, $\varphi$- фактор-отображение. Далее написано, что точные последовательности $\xymatrix{0\ar[r]&A\ar[r]^{\kappa}&B\ar[r]^{\sigma}&C\ar[r]&0}$ и $\xymatrix{0\ar[r]&\kappa A\ar[r]^{j}&B\ar[r]^{\varphi}&B/\kappa A\ar[r]&0}$ изоморфны в том смысле, что имеет место коммутативная диаграмма

$$\xymatrix{0\ar[r]&A\ar[r]^{\kappa}\ar[d]^{\kappa '}&B\ar[r]^{\sigma}\ar[d]^{\mathrm{id}}&C\ar[r]\ar[d]^{\sigma '}&0\\0\ar[r]&\kappa A\ar[r]^{j}&B\ar[r]^{\varphi}&B/\kappa A\ar[r]&0}$$

, где $\kappa ',\sigma '$- изоморфизмы, индуцированные $\kappa$ и $\sigma$ соотвественно. Так как таким образом определить морфизмы в категории точных последовательностей? Правильно ли я понял, что в последовательности вида

$$\xymatrix{0\ar[r]&H\ar[r]&G\ar[r]&G/H\ar[r]&0}$$

в качестве мофризмов из $H$ в $G$ и из $G$ в $G/H$ понимается тождественное вложение и фактор-отображение соответсвенно?

-- 01.10.2012, 13:12 --

Т.е. в качестве морфизма двух точных последовательнтей $E$ и $E'$ понимается тройка морфизмов $f=(f_1,f_2,f_3)$, такая что диаграмма

$$\xymatrix{0\ar[r]&E_1\ar[r]^{d_1}\ar[d]^{f_1}&E_2\ar[d]^{f_2}\ar[r]^{d_2}&E_3\ar[d]^{f_3}\ar[r]&0\\0\ar[r]&E'_1\ar[r]^{d'_1}&E'_2\ar[r]^{d'_2}&E'_3\ar[r]&0}$$

коммутативна. Если положить, что $E_1,E_2$- две точные последователдьности и $f:E_1\to E_2$- морфизм. Какие тогда у $E_1,E_2$ одникаовые свойства будут? Что при таких морфизмах сохраняется?

[xmaister]

А, кажется понял. Рассмотрим класс всех коротких точных последовательностей групп $\mathscr{E}$. Возьмём 2 произвольные точные последовательности из $\mathscr{E}$- $(E,g)=\xymatrix{0\ar[r]&E_1\ar[r]^{g_1}&E_2\ar[r]^{g_2}&E_3\ar[r]&0}$ и $(E',g')=\xymatrix{0\ar[r]&E'_1\ar[r]^{g'_1}&E'_2\ar[r]^{g'_2}&E'_3\ar[r]&0}$ и определим множество $\mathrm{Hom}(E,E')$ как все тройки гомоморфизмов $f=(f_1,f_2,f_3)$, где $f_i:E\to E',i=1,2,3$, такие что диагрмма

$$\xymatrix{0\ar[r]&E_1\ar[r]^{g_1}\ar[d]^{f_1}&E_2\ar[r]^{g_2}\ar[d]^{f_2}&E_3\ar[r]\ar[d]^{f_3}&0\\0\ar[r]&E'_1\ar[r]^{g'_1}&E'_2\ar[r]^{g'_2}&E'_3\ar[r]&0}$$

коммутативна. Ясно что $\mathrm{Hom}(E,E')$ и $\mathrm{Hom}(C,C')$ не пересекаются, если $E\ne C$ или $E'\ne C'$. Отображение $\circ :\mathrm{Hom}(A,B)\times \mathrm{Hom}(B,C)\to\mathrm{Hom}(A,C)$ определяю как $((f_1,f_2,f_3),(g_1,g_2,g_3))\mapsto (f_1\circ g_1,f_2\circ g_2,f_3\circ g_3)$. Это отображение ассоциативно. Определю тождественный морфизм $\mathrm{id}_A\in\mathrm{Hom}(A,A)$, как $\mathrm{id}_A=(\mathrm{id}_{A_1},\mathrm{id}_{A_2},\mathrm{id}_{A_3})$. Значит определена категория точных последовательностей групп. Если говорят, что две точные последовательности групп $A,B$- одинаковы, правильно ли понимать это, что существует изоморфизм $f\in\mathrm{Hom}(A,B)$ в смысле определённой выше категории, в случае, если не сделано конкретных уточнений?

(Оффтоп)

Скорее всего, вопрос дурацкий, но мне пока плохо даётся формализм абстрактной чепухи, поэтому уточняю

[AV_77]

xmaister в сообщении #625535 писал(а):

Правильно ли я понял, что в последовательности вида

$$\xymatrix{0\ar[r]&H\ar[r]&G\ar[r]&G/H\ar[r]&0}$$

в качестве мофризмов из $H$ в $G$ и из $G$ в $G/H$ понимается тождественное вложение и фактор-отображение соответсвенно?

Да.

[xmaister]

AV_77, спасибо, разобрался. А вот точная последовательность $\xymatrix{0\ar[r]&H/K\ar[r]&G/K\ar[r]^{\varphi}&G/H\ar[r]&0}$ изоморфна точной последовательности $\xymatrix{0\ar[r]&H/K\ar[r]&G/K\ar[r]&(G/K)/(H/K)\ar[r]&0}$ в категории, которую я выше определил, причем $(G/K)/(H/K)\cong G/H$ индуцирован $\varphi:G/K\to G/H$. И мне опять не ясно, какой тут брать $\varphi$, как проекцию чтоли?

[AV_77]

$\varphi$ это композиция гомоморфизма $G / K \to (G / K) / (H / K)$ и изоморфизма $(G / K) / (H / K) \to G / H$. Или я просто вопрос не понимаю.

[xmaister]

А я думал, что мы как раз изоморфизм $G/H\cong (G/K)/(H/K)$ определяем исходя из гомоморфизма $\varphi: G/K\to G/H$. Ведь $\varphi$ этот изоморфизм индуцирует, разве нет?

-- 01.10.2012, 22:15 --

Или этот изоморфизм можно по разному определять? Есть ли какой-нибудь естественный изоморфизм $G/H\cong (G/K)/(H/K)$?