Степень оператора.

[kylla]

Здравствуйте ! Подскажите, где можно прочитать про степень оператора , как она задаётся и какие определения и теоремы там фигурируют.

[arseniiv]

Обычно степень оператора $A$ определяют так:
$\begin{array}{l} A^0 \equiv E, \\ A^1 \equiv A, \\ A^{n+1} \equiv AA^n. \end{array}$

Если оператор имеет обратный, можно определить отрицательные степени:
$A^{-n} \equiv (A^{-1})^n$.

Можно в таком общем случае даже назвать некоторые свойства. К примеру,
$A^m A^n = A^{m+n}$ (доказывается по индукции) и
$(A^m)^n = A^{mn}$ — для неотрицательных целых $m$ и $n$ (целые только для обратимых операторов).

(Вообще, операторы, как и любые функции, образуют моноид — так что всё, что можно сказать про степени элементов моноида, применимо к степеням операторов. В том числе, это и предыдущие два свойства, никак не использующие «операторность».)

Остальные свойства степени зависят от того, откуда куда оператор действует и есть ли у него какие-то особые свойства (линейный, дифференциальный, сжимающий и т. д.).

UPD. Имелось в виду, что моноид образуют функции из множества в себя.

[vlad_light]

(Оффтоп)

А ещё, по-моему, $A^{-n}=(A^{-1})^n=(A^n)^{-1}$, причём все существуют, если существет любой из них.

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #625672 писал(а):

Вообще, операторы, как и любые функции, образуют моноид

А если образ не содержится в области определения?...

[arseniiv]

(2 ewert.)

ewert в сообщении #625690 писал(а):

А если образ не содержится в области определения?...

(Ой. Я сначала писал про операторы на одном и том же множестве, а потом забыл, что сделал оговорку про возможно разные.) Если образ не содержится в области определения, тогда ни о какой степени больше 1 ведь и не поговоришь!

(2 vlad_light.)

Ага.

[vlad_light]

(Оффтоп)

Ещё есть такая вещь, как корень из оператора, но не уверен, что это будет интересно ТС. Если $A:H\to H$ - ограничен и $A>0$, где $H$ - комплексное гильбертово пространство, то $\exists B:H\to H$ такой, что $B^2 = A$. Более того, такой оператор является единственным и положительно определённым. Для действительного ГП дополнительно накладывается условие симметричности. ewert поправьте, пожалуйста, если что не так. Я в этом не особо... Спасибо!

[kylla]

arseniiv в сообщении #625672 писал(а):

Обычно степень оператора $A$ определяют так:
$\begin{array}{l} A^0 \equiv E, \\ A^1 \equiv A, \\ A^{n+1} \equiv AA^n. \end{array}$

Если оператор имеет обратный, можно определить отрицательные степени:
$A^{-n} \equiv (A^{-1})^n$.

Можно в таком общем случае даже назвать некоторые свойства. К примеру,
$A^m A^n = A^{m+n}$ (доказывается по индукции) и
$(A^m)^n = A^{mn}$ — для неотрицательных целых $m$ и $n$ (целые только для обратимых операторов).

(Вообще, операторы, как и любые функции, образуют моноид — так что всё, что можно сказать про степени элементов моноида, применимо к степеням операторов. В том числе, это и предыдущие два свойства, никак не использующие «операторность».)

Остальные свойства степени зависят от того, откуда куда оператор действует и есть ли у него какие-то особые свойства (линейный, дифференциальный, сжимающий и т. д.).

UPD. Имелось в виду, что моноид образуют функции из множества в себя.

Спасибо за ответ, но то , что вы сказали, я себе как то интуитивно представлял , типа как оператор в квадрате это просто подействовали два раза оператором, я же столкнулся с таким определением http://cs410328.userapi.com/v410328428/ ... kUEGbs.jpg , и честно сказать, мало чего понял там , хотелось бы узнать ,с чем я имею дело =)

[arseniiv]

С функциональным анализом, вероятно. А что, введения никакого не было, сразу теорему кинули?

kylla в сообщении #625727 писал(а):

Спасибо за ответ, но то , что вы сказали, я себе как то интуитивно представлял , типа как оператор в квадрате это просто подействовали два раза оператором

Это вы так общо вопрос задали — вот и соответствующие ответы…

[kylla]

Цитата:

С функциональным анализом, вероятно. А что, введения никакого не было, сразу теорему кинули?

Я курсовую собрался писать по операторам. Вот эта формула ,сказали мне, чтобы дробные степени считать например нужна, а у меня не достаточно знаний , чтобы понять половину слов от туда. )) Вот и пытаюсь найти литературу или хоть что-то, чтобы разъяснить , с чем имею дело.)

[ewert]

kylla в сообщении #625747 писал(а):

Вот эта формула ,сказали мне, чтобы дробные степени считать например нужна,

Та дёшево дробные степени не создашь, даже в конечномерном случае (который, скорее всего, от Вас и требовался). Тут просто целочисленными степенями не отделаешься, тут вам не здесь (в смысле не числа).