2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 14:18 
Маловероятно, что это верно: показательные уравнения имеют, как правило, конечное множество решений. Здесь мы имеем дело с показательным уравнением $a^m+b^n=(a+b)^k$, где $a$, $b$ фиксированы, а неизвестными являются $m$, $n$, $k$.

 
 
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 14:26 
nnosipov в сообщении #625180 писал(а):
Маловероятно, что это верно: показательные уравнения имеют, как правило, конечное множество решений. Здесь мы имеем дело с показательным уравнением $a^m+b^n=(a+b)^k$, где $a$, $b$ фиксированы, а неизвестными являются $m$, $n$, $k$.


Да, именно так. Как бы "все наоборот" - неизвестные - показатели степени. Маловероятно, но и не опровергнуто (пока)... :-)
Точно.. вот такое уравнение красивее и нагляднее:
$a^m+b^n=(a+b)^k$

В таком виде формулировка не больше, чем формулировка ВТФ, кстати, (пардон, что сравниваю..)
Уж, если сравнивать:
в ВТФ все наоборот, вплоть до вывода, совпадает только количество неизвестных и констант.
Так что знаете, может даже - "очень вероятно, что верно"...
Надеюсь, что и доказать её будет достаточно просто (опять же - в противоположность ВТФ)

 
 
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 19:24 
alexo2 в сообщении #625164 писал(а):
Вот, "причесал":

Для любых натуральных нечетных $a, b$, имеющих общий множитель, существует бесконечное множество таких натуральных $m, n, k$, при которых совместно выполняется:

1. $a + b = c$
2. $a^m + b^n = c^k$


Не до конца причесали.
Если вы внимательно посмотрите на опровержение, котороя я писал, то заметите, что там вместо $2$ можно поставить любое простое $p$

 
 
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение01.10.2012, 05:37 
Честно говоря и ограничение, что оба числа обязательно нечетные тоже интуитивно пока оптимизма не добавляет..
Буду проверять. По-возможности выложу свои наработки по этой теме...

 
 
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение01.10.2012, 14:45 
Получается так:
Для любых нечетных, составных, невзаимнопростых $a, b$ существует бесконечное множество таких натуральных $n, m, k$, что

$a^n + b^m = (a + b)^k$


Или более общее:

Каждое решение уравнения Биля по основаниям имеет бесконечное множество решений по показателям, а каждое решение по показателям имеет бесконечное множество решений по основаниям

 
 
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение01.10.2012, 15:51 
alexo2 в сообщении #625603 писал(а):
Для любых нечетных, составных, невзаимнопростых $a, b$ существует бесконечное множество таких натуральных $n, m, k$, что

$a^n + b^m = (a + b)^k$
Крайне сомнительно, например, чтобы уравнение $15^n+21^m=36^k$ имело бесконечно много решений.

 
 
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение01.10.2012, 15:57 
[quote="nnosipov в [url=http://dxdy.ru/post625619.html#p625619]сообщении #625619[/url
Крайне сомнительно, например, чтобы уравнение $15^n+21^m=36^k$ имело бесконечно много решений.[/quote]

Честно говоря, пока не доказано и то, что среди решений уравнения Биля найдутся удовлетворяющие данным условиям.
Сначала бы доказать (найти хотя бы пример), что вообще существуют такие решения, а потом - что всех решений бесконечно много...

 
 
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение01.10.2012, 16:34 
Аватара пользователя
 !  alexo2,

кнопка "Предпросмотр" позволяет рассмотреть сообщение, увидеть дефекты оформления (в данном случае --- цитату) и исправить их. При редактировании Вы просто откусили закрывающую кавычку и скобки тега [quote="..."].
Будьте внимательнее.

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group