пространство основных функций

[Oleg Zubelevich]

Сначала выдержка из Колмогорова Фомина:





Доказать, что данная топология в $K$ не совпвдвет со стандартной топологией индуктивного предела в $\mathcal{D}(\mathbb{R})$.
(Как линейные пространства $K$ и $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ совпадают)

[Sinus]

Линейный функционал
$F(\varphi ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty || \varphi ^{(n)}(x)I_{ |x| > n} || $
непрерывен на $\mathcal{D}(\mathbb{R})$, так как он непрерывен на каждом из пространств $\mathcal{D}(\mathbb{R}_{[-n;n]})$ (под $|| \cdot || $ понимается обычная супремум норма).

В тоже время этот функционал, по-видимому, не будет непрерывным в пространстве $K$, так как, судя по описанию окрестностей нуля, в каждой из них он может принимать сколь угодно большие значения за счет производных высоких порядков.

Другое решение (от противного): если бы это две топологии совпадали и соответственно были бы одной топологией, то никому бы не пришло в голову описывать ее с помощью конструкции индуктивного предела, вместо того что бы просто явно задать систему окрестностей нуля

[Sinus]

Вместо $\mathcal{D}(\mathbb{R}_{[-n;n]})$ должно быть, конечно, $\mathcal{D}([-n;n])$.

[Oleg Zubelevich]

я себе в архив написал такое объяснение:



идея таже. Вообще остается впечатление некоторого жульничества. Такие вещи авторам учебников надо не замалчивать, а наоборот заострять на них внимание

-- Вс сен 30, 2012 09:32:49 --

Sinus в сообщении #624979 писал(а):

Линейный функционал
$F(\varphi ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty || \varphi ^{(n)}(x)I_{ |x| > n} || $

вообще-то нелинейный

-- Вс сен 30, 2012 10:14:18 --

Sinus в сообщении #624979 писал(а):

Другое решение (от противного): если бы это две топологии совпадали и соответственно были бы одной топологией, то никому бы не пришло в голову описывать ее с помощью конструкции индуктивного предела, вместо того что бы просто явно задать систему окрестностей нуля

базис окрестностей нуля в $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ выписан у Иосиды

[Sinus]

Oleg Zubelevich в сообщении #625040 писал(а):

...
Такие вещи авторам учебников надо не замалчивать, а наоборот заострять на них внимание

Да уж, это точно.

-- Вс сен 30, 2012 09:32:49 --

Цитата:

Sinus в сообщении #624979 писал(а):

Линейный функционал
$F(\varphi ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty || \varphi ^{(n)}(x)I_{ |x| > n} || $

вообще-то нелинейный

Конечно, надо было взять например $F(\varphi ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty \varphi ^{(n)}(n) $

[Oleg Zubelevich]

А вот это уже похоже на ошибку:



Функционал

Sinus в сообщении #625174 писал(а):

$F(\varphi ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty \varphi ^{(n)}(n) $

непрерывен на $K$ в секвенциальном смысле, но не является непрерывным в смысле введеной в $K$ топологии.

[Sinus]

Oleg Zubelevich в сообщении #625240 писал(а):

А вот это уже похоже на ошибку:

...

Функционал

Sinus в сообщении #625174 писал(а):

$F(\varphi ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty \varphi ^{(n)}(n) $

непрерывен на $K$ в секвенциальном смысле, но не является непрерывным в смысле введеной в $K$ топологии.

Так в том то и идея, что этот функционал не является непрерывным в $K$, являясь при этом непрерывным в $\mathcal{D}(\mathbb{R})$. Поэтому топологии не совпадают.

[Oleg Zubelevich]

Спасибо сам я бы не догадался, в чем Ваша идея , я просто уже о другом немного, у Колмогорова-Фомина ошибка, прочитайте внимательно последнюю цитату

[Sinus]

Прочитал цитируемую вами часть учебника. Действительно, похоже, что утверждение упражнения неверно. Кажется, пункты б), в), г) действительно эквивалентны друг другу, а вот условие пункта а) сильнее.


У меня учебник 1976 года издания. Стоит проверить, возможно в более свежих изданиях это исправлено.

[Oleg Zubelevich]

the edition 2004 is the same