Частная производная не находится

[Nagva1]

$\begin{Bmatrix} x=u+\ln(v) \\ y=v-\ln(u)\\ z=2u+v\\ \end{Bmatrix}$
Найти $\frac{\partial{z}}{\partial{x}}$.
Вот, выражаю $u$ через $v$ и $x$, подставляю в последнее... $z=2x+v-\ln(v)$. Дифференцирую по икс, получается 2(ответ другой).. но это наверное так нельзя делать(потому что x отчасти зависит от v? или почему?).

[chessar]

Nagva1 в сообщении #625379 писал(а):

но это наверное так нельзя делать(потому что x отчасти зависит от v? или почему?).

Да, так нельзя делать, ибо $v=v(x,y)$ зависит от $x,y$. Т.е. $z'_x=2+v'_x-2\dfrac{v'_x}{v}$. Также из 3-го уравнения, $z'_x=2u'_x+v'_x$ и ещё, если выражать $v=y+\ln{u}$, то $z'_x=2u'_x+y+\dfrac{u'_x}{u}$.

[Nagva1]

Цитата:

ибо $v=v(x,y)$ зависит от $x,y$

А почему не от $x,y,z$?

[chessar]

Nagva1 в сообщении #625407 писал(а):

А почему не от $x,y,z$?

Не знаю. Но логично предположить, что $u,v,z$ - функции от двух аргументов $x,y$. А как именно полное условие звучит? Что сказано про $x,y,u,v,z$?

[Nagva1]

Больше ничего (3408 Демидович)..

Цитата:

если выражать $v=y+\ln{u}$, то $z'_x=2u'_x+y+\dfrac{u'_x}{u}$.

Разве $y'_x$ не ноль? (ну точно не просто игрик)

[chessar]

Nagva1 в сообщении #625409 писал(а):

Разве $y'_x$ не ноль?

Да, Вы правы, опечатался, правильно $z'_x=2u'_x+\dfrac{u'_x}{u}$.

[Dragon27]

Nagva1 в сообщении #625409 писал(а):

Больше ничего (3408 Демидович)..

А какое издание? У меня в 13-ом издании есть похожая задача только 3407.1, в которой надо найти частные производные функции $z$ (и по $x$ и по $y$) в точке $u=1, v=1$.
Система такая же.

[Shtorm]

Nagva1 в сообщении #625379 писал(а):

$\begin{Bmatrix} x=u+\ln(v) \\ y=v-\ln(u)\\ z=2u+v\\ \end{Bmatrix}$
Найти $\frac{\partial{z}}{\partial{x}}$.

Используем формулы:

$$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$$

$$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$$

Подставляем в эти формулы все частные производные по параметрам $u,v$ и получаем систему из двух уравнений откуда легко находится искомая величина.